Was ist die Finite-Elemente-Methode?
Die Finite-Elemente-Methode ist ein Werkzeug zur Berechnung von Näherungslösungen für komplexe mathematische Probleme. Es wird im Allgemeinen verwendet, wenn mathematische Gleichungen zu kompliziert sind, um auf normale Weise gelöst zu werden, und ein gewisser Grad an Fehlern tolerierbar ist. Ingenieure wenden üblicherweise die Finite-Elemente-Methode an, da sie Produkte für praktische Anwendungen entwerfen und keine perfekten Lösungen benötigen. Die Finite-Elemente-Methode kann an unterschiedliche Genauigkeitsanforderungen angepasst werden und den Bedarf an physischen Prototypen im Entwurfsprozess verringern.
Eine Anwendung der Finite-Elemente-Methode ist die Modellierung komplexer physikalischer Deformationen in Materialien. Der Schaden, den ein Auto durch einen Frontalzusammenstoß erleidet, ist ein Beispiel für eine komplizierte Verformung. Deformationen in einem Bereich hängen von Deformationen in anderen Bereichen ab. Die Kollision muss über viele verschiedene Zeitschritte hinweg modelliert werden, um das Endergebnis zu ermitteln. Diese große Anzahl von Schritten macht es unpraktisch, ein solches Problem von Hand zu modellieren. Ein Computer, der die Finite-Elemente-Methode verwendet, könnte dieses Problem jedoch mit einem hohen Maß an Genauigkeit lösen.
Darüber hinaus sind Deformationen realer Materialien wie viele andere physikalische Phänomene komplizierte Effekte. Ein Problem bei der Modellierung solcher Effekte unter Verwendung genauer mathematischer Gleichungen besteht darin, dass sie zu kompliziert wären, um mit dem aktuellen Wissen gelöst zu werden. Numerische Methoden in der Mathematik werden daher verwendet, um kompliziertere Gleichungen zu approximieren, indem einfachere Gleichungen über viele verschiedene Schritte hinweg verwendet werden. Bei der Finite-Elemente-Methode wird ein Netz erstellt, um Änderungen über den Raum mit vielen kleinen, einfacheren Elementen zu modellieren. Der Fehlergrad, der sich aus dieser Vereinfachung ergibt, hängt von der Anzahl der Gesamtelemente im Netz ab.
Damit die Finite-Elemente-Methode aussagekräftige Ergebnisse liefert, muss mit dem Problem eine Reihe von Randbedingungen festgelegt werden. Diese definieren im Wesentlichen, auf welche Bedingungen das Modell reagieren muss. In dem Fahrzeugbeispiel wären die Randbedingungen die Kräfte, die durch das äußere Objekt auf das Fahrzeug ausgeübt werden. Randbedingungen können Punktkräfte, verteilte Kräfte, thermische Effekte wie Temperaturänderungen oder angewandte Wärmeenergie oder Positionsbeschränkungen sein. Ohne Randbedingungen ist es unmöglich, ein Problem zu erstellen, da das Modell wenig zu beantworten hätte.
Ein Vorteil der Finite-Elemente-Methode besteht darin, dass es einfach ist, detaillierte Visualisierungen eines Problems zu erstellen. Sobald ein Modell vollständig gelöst ist, können diese Informationen in ein Bild übertragen werden. Beispielsweise können bestimmten Spannungen in verschiedenen Netzelementen unterschiedliche Farben zugewiesen werden. Mithilfe von Visualisierungen können Ingenieure Schwachstellen in einem Entwurf intuitiv identifizieren und anhand dieser Informationen einen neuen Entwurf erstellen. Visualisierungssoftware ist ein wesentlicher Bestandteil vieler Finite-Elemente-Computerprogramme.