¿Qué son los derivados complejos?

Los derivados complejos son descripciones de las tasas de cambio de funciones complejas, que operan en campos de valor que incluyen números imaginarios. Cuentan a los matemáticos sobre el comportamiento de las funciones que son difíciles de visualizar. La derivada de una función compleja f at x ₀ , si existe, se da por el límite a medida que x se acerca a x ₀ de ( f (x)- f (x ₀ )/(x- x ₀ ).

Otro campo, que es una acción llamada mapeo. Cuando uno o ambos de esos campos contienen números que forman parte del campo de números complejos, la función se llama función compleja. Los derivados complejos provienen de funciones complejas, pero no todas las funciones complejas tienen un derivado complejo.

Los conjuntos de valores que una función compleja se asigna hacia y desde debe incluir números complejos. Estos son valores que pueden ser representados por A + B i , donde A y B son números reales y i es la raíz cuadrada de la negativa, que es un número imaginario. El valor de B puede ser cero, por lo que todos los números reales también son números complejos.

Los derivados son tasas de cambio de funciones. En general, la derivada es una medida de las unidades de cambio sobre un eje para cada unidad de otro eje. Por ejemplo, una línea horizontal en un gráfico bidimensional tendría un derivado de cero, porque para cada unidad de x, el valor y cambia por cero. Los derivados instantáneos, que se usan con mayor frecuencia, dan la tasa de cambio en un punto de la curva en lugar de en un rango. Esta derivada es la pendiente de la línea recta que es tangente a la curva en el punto deseado.

La derivada, sin embargo, no existe en todas partes en cada función. Si una función tiene una esquina, por ejemplo, la derivada no existe en la esquina. Esto se debe a que la derivada está definida por un límite, y yof El derivado realiza un salto de un valor a otro, entonces el límite es inexistente. Se dice que una función que tiene derivadas es diferenciable. Una condición para la diferenciabilidad en las funciones complejas es que las derivadas parciales, o las derivadas para cada eje, deben existir y ser continuas en el punto en cuestión.

Las funciones complejas que tienen derivados complejos también deben satisfacer las condiciones llamadas funciones de Cauchy-Riemann. Estos requieren que las derivadas complejas sean las mismas independientemente de cómo se oriente la función. Si las condiciones especificadas por las funciones se cumplen y las derivadas parciales son continuas, entonces la función es compleja diferenciable.