Co to są złożone pochodne?

Złożone pochodne to opisy szybkości zmiany złożonych funkcji, które działają w polach wartości, które obejmują wyimaginowane liczby. Opowiadają matematykom o zachowaniu funkcji, które są trudne do wizualizacji. Pochodna funkcji złożonej f at x 0 , jeśli istnieje, jest podana przez limit jako x podejście x _{0 z ( f (x)- f (x 0 )))/(x- x 0 ). pole, które jest akcją zwaną mapowaniem. Gdy jeden lub oba te pola zawiera liczby, które są częścią pola liczb złożonych, funkcja nazywa się funkcją złożoną. Złożone pochodne pochodzą z złożonych funkcji, ale nie każda złożona funkcja ma złożoną pochodną.}

Zestawy wartości, do których mapuje złożone funkcje i muszą zawierać liczby złożone. Są to wartości, które mogą być reprezentowane przez A + B i , gdzie A i B są liczbami rzeczywistymi i i jest pierwiastkiem kwadratowym ujemnego, który jest liczbą wyobraźni. Wartość B może wynosić zero, więc wszystkie liczby rzeczywiste są również liczbami złożonymi.

Pochodne są szybkości zmiany funkcji. Zasadniczo pochodna jest miarą jednostek zmiany nad jedną osą dla każdej jednostki innej osi. Na przykład pozioma linia na dwuwymiarowym wykresie miałaby pochodną zerową, ponieważ dla każdej jednostki x wartość y zmienia się o zero. Natychmiastowe pochodne, które są najczęściej używane, dają szybkość zmian w jednym punkcie krzywej, a nie w zakresie. Ta pochodna jest nachyleniem linii prostej, która jest styczna do krzywej w pożądanym punkcie.

Pochodna nie istnieje jednak wszędzie na każdej funkcji. Jeśli na przykład funkcja ma narożnik, pochodna nie istnieje w rogu. Wynika to z faktu, że pochodna jest zdefiniowana przez limit, a jaf Pochodna skaknie z jednej wartości do drugiej, wówczas limit nie istnieje. Mówi się, że funkcja pochodnych jest różnicowa. Jednym z warunków różnicowości w złożonych funkcjach jest to, że częściowe pochodne lub pochodne dla każdej osi muszą istnieć i być ciągłe w danym punkcie.

Złożone funkcje, które mają złożone pochodne, muszą również spełniać warunki zwane funkcjami Cauchy-Riemann. Wymagają one, aby złożone pochodne były takie same, niezależnie od tego, jak funkcja jest zorientowana. Jeśli warunki określone przez funkcje są spełnione, a częściowe pochodne są ciągłe, wówczas funkcja jest złożona.