Hva er komplekse derivater?

Komplekse derivater er beskrivelser av hastighetene for endring av komplekse funksjoner, som fungerer i verdifelt som inkluderer imaginære tall. De forteller matematikere om oppførselen til funksjoner som er vanskelige å visualisere. Derivatet av en kompleks funksjon f ved x 0 , hvis den eksisterer, er gitt av grensen når x nærmer seg x 0 av ( f (x)- F

. Et annet felt, som er en handling som kalles kartlegging. Når ett eller begge feltene inneholder tall som er en del av feltet med komplekse tall, kalles funksjonen en kompleks funksjon. Komplekse derivater kommer fra komplekse funksjoner, men ikke alle komplekse funksjoner har et komplekst derivat.

Settene med verdier som en kompleks funksjon kartlegger til og fra må omfatte komplekse tall. Dette er verdier som kan representeres med a + b i , hvor a og b er reelle tall og i er kvadratroten til negativ, som er et tenkt tall. Verdien av B kan være null, så alle reelle tall er også komplekse tall.

Derivater er hastigheter for endring av funksjoner. Generelt er derivatet et mål på endringsenhetene over en akse for hver enhet av en annen akse. For eksempel vil en horisontal linje på en todimensjonal graf ha et derivat på null, fordi for hver enhet av x endres y-verdien med null. Øyeblikkelig derivater, som ofte brukes, gir endringshastigheten på et tidspunkt på kurven i stedet for over et område. Dette derivatet er skråningen på den rette linjen som er tangent til kurven ved ønsket punkt.

Derivatet eksisterer imidlertid ikke overalt på alle funksjoner. Hvis en funksjon har et hjørne i for eksempel, eksisterer ikke derivatet på hjørnet. Dette er fordi derivatet er definert av en grense, og jegf Derivatet gjør et hopp fra en verdi til en annen, da er grensen ikke -eksisterende. En funksjon som har derivater sies å være differensierbar. En betingelse for differensierbarhet i komplekse funksjoner er at de delvise derivatene, eller derivatene for hver akse, må eksistere og være kontinuerlig på det aktuelle punktet.

komplekse funksjoner som har komplekse derivater, må også tilfredsstille forholdene som kalles Cauchy-Riemann-funksjoner. Disse krever at de komplekse derivatene er de samme uavhengig av hvordan funksjonen er orientert. Hvis forholdene som er spesifisert av funksjonene er oppfylt og de delvise derivatene er kontinuerlige, er funksjonen kompleks differensierende.