Cosa sono i derivati complessi?
Derivati complessi sono descrizioni dei tassi di variazione delle funzioni complesse, che operano in campi di valore che includono numeri immaginari. Raccontano i matematici il comportamento delle funzioni che sono difficili da visualizzare. Il derivato di una funzione complessa f in x 0 , se esiste, è dato dal limite come X si avvicina a x 0 di ( f (x)- f (x 0 )/(x- x campo, che è un'azione chiamata mappatura. Quando uno o entrambi questi campi contiene numeri che fanno parte del campo di numeri complessi, la funzione è chiamata funzione complessa. I derivati complessi provengono da funzioni complesse, ma non tutte le funzionalità complesse hanno un derivato complesso.
Gli insiemi di valori che una funzione complessa mappa da e da devono includere numeri complessi. Questi sono valori che possono essere rappresentati da a + b i , dove a e b sono numeri reali e i è la radice quadrata di uno negativo, che è un numero immaginario. Il valore di B può essere zero, quindi tutti i numeri reali sono anche numeri complessi.
I derivati sono tassi di variazione delle funzioni. In generale, il derivato è una misura delle unità di cambiamento su un asse per ogni unità di un altro asse. Ad esempio, una linea orizzontale su un grafico bidimensionale avrebbe una derivata di zero, perché per ogni unità di X, il valore y cambia di zero. I derivati istantanei, che vengono più spesso utilizzati, danno il tasso di cambiamento in un punto sulla curva piuttosto che su un intervallo. Questo derivato è la pendenza della linea retta che è tangente alla curva nel punto desiderato.
Il derivato, tuttavia, non esiste ovunque su ogni funzione. Se una funzione ha un angolo, ad esempio, il derivato non esiste all'angolo. Questo perché il derivato è definito da un limite e iof Il derivato fa un salto da un valore all'altro, quindi il limite è inesistente. Si dice che una funzione che ha derivati sia differenziabile. Una condizione per la differenziabilità nelle funzioni complesse è che i derivati parziali, o i derivati per ciascun asse, devono esistere ed essere continui nel punto in questione.
Funzioni complesse che hanno derivati complessi devono anche soddisfare le condizioni chiamate funzioni Cauchy-Riemann. Questi richiedono che i derivati complessi siano uguali indipendentemente da come la funzione sia orientata. Se le condizioni specificate dalle funzioni sono soddisfatte e i derivati parziali sono continui, la funzione è complessa differenziabile.