Hvad er komplekse derivater?

komplekse derivater er beskrivelser af hastighederne for ændring af komplekse funktioner, der fungerer i værdifelter, der inkluderer imaginære tal. De fortæller matematikere om opførslen af ​​funktioner, der er vanskelige at visualisere. Derivatet af en kompleks funktion f ved x ₀ , hvis den findes, gives ved grænsen, når x nærmer sig x ₀ af ( f (x)- f (x ₀ ))/(x- x ₀ ). felt, som er en handling kaldet kortlægning. Når et eller begge disse felter indeholder tal, der er en del af området med komplekse tal, kaldes funktionen en kompleks funktion. Komplekse derivater kommer fra komplekse funktioner, men ikke enhver kompleks funktion har et komplekst derivat.

de værdier, som en kompleks funktion kortlægger til og fra skal omfatte komplekse tal. Dette er værdier, der kan repræsenteres af A + B i , hvor A og B er reelle tal og i er kvadratroden af ​​negativ, som er et imaginært tal. Værdien af ​​B kan være nul, så alle reelle tal er også komplekse tal.

Derivater er hastigheder for ændring af funktioner. Generelt er derivatet et mål for ændringerne af ændring over en akse for hver enhed af en anden akse. For eksempel ville en vandret linje på en to-dimensionel graf have et derivat på nul, for for hver enhed af X ændres Y-værdien med nul. Øjeblikkelige derivater, der oftest bruges, giver ændringshastigheden på et tidspunkt på kurven snarere end over et interval. Dette derivat er hældningen af ​​den lige linje, der er tangent til kurven på det ønskede punkt.

Derivatet findes imidlertid ikke overalt på enhver funktion. Hvis en funktion har et hjørne i den, for eksempel, findes derivatet ikke på hjørnet. Dette skyldes, at derivatet er defineret af en grænse, og jegF derivatet springer fra en værdi til en anden, så er grænsen ikke -eksisterende. En funktion, der har derivater, siges at være differentierbar. En betingelse for differentiering i komplekse funktioner er, at de delvise derivater eller derivaterne for hver akse skal eksistere og være kontinuerlig på det pågældende punkt.

komplekse funktioner, der har komplekse derivater, skal også tilfredsstille betingelserne kaldet Cauchy-Riemann-funktioner. Disse kræver, at de komplekse derivater er de samme, uanset hvordan funktionen er orienteret. Hvis de betingelser, der er angivet af funktionerne, er opfyldt, og de delvise derivater er kontinuerlige, er funktionen kompleks differentierbar.