Wat zijn complexe derivaten?
Complexe derivaten zijn beschrijvingen van de snelheid van verandering van complexe functies, die werken in waardevelden die denkbeeldige getallen bevatten. Ze vertellen wiskundigen over het gedrag van functies die moeilijk te visualiseren zijn. De afgeleide van een complexe functie f op x 0 , als deze bestaat, wordt door de limiet gegeven als x nadert x 0 van ( f (x)- f (x 0 ))/(x- x 0 0 ) Veld, een actie die Mapping wordt genoemd. Wanneer een of beide velden getallen bevatten die deel uitmaken van het gebied van complexe getallen, wordt de functie een complexe functie genoemd. Complexe derivaten komen van complexe functies, maar niet elke complexe functie heeft een complex derivaat.
De sets van waarden die een complexe functie van en naar complexe getallen moeten omvatten. Dit zijn waarden die kunnen worden weergegeven door a + b i , waarbij a en b reële getallen zijn en i is de vierkantswortel van negatieve, wat een denkbeeldig getal is. De waarde van B kan nul zijn, dus alle reële getallen zijn ook complexe getallen.
derivaten zijn veranderingspercentages van functies. Over het algemeen is het derivaat een maat voor de veranderingseenheden over de ene as voor elke eenheid van een andere as. Een horizontale lijn op een tweedimensionale grafiek zou bijvoorbeeld een afgeleide van nul hebben, omdat voor elke eenheid van X de Y-waarde met nul verandert. Onmiddellijke derivaten, die het vaakst worden gebruikt, geven de snelheid van verandering op een bepaald punt op de curve in plaats van over een bereik. Deze afgeleide is de helling van de rechte lijn die op het gewenste punt raakt aan de curve.
Het afgeleide bestaat echter niet overal bij elke functie. Als een functie er bijvoorbeeld een hoek in heeft, bestaat de afgeleide niet op de hoek. Dit komt omdat de afgeleide wordt gedefinieerd door een limiet, en ikf De afgeleide maakt een sprong van de ene waarde naar de andere, dan bestaat de limiet niet. Er wordt gezegd dat een functie met derivaten differentabel is. Een voorwaarde voor differentabiliteit in complexe functies is dat de gedeeltelijke derivaten, of de derivaten voor elke as, moeten bestaan en continu moeten zijn op het betreffende punt.
Complexe functies met complexe derivaten moeten ook voldoen aan de voorwaarden die Cauchy-Riemann-functies worden genoemd. Deze vereisen dat de complexe derivaten hetzelfde zijn, ongeacht hoe de functie is georiënteerd. Als de door de functies gespecificeerde voorwaarden worden voldaan en de gedeeltelijke derivaten continu zijn, is de functie complex onderscheidbaar.