¿Qué son los coeficientes binomiales?
Los coeficientes binomiales definen el número de combinaciones que son posibles al elegir un cierto número de resultados de un conjunto de un tamaño dado. Se usan en el teorema binomial, que es un método para expandir un binomial: una función polinomial que contiene dos términos. El triángulo de Pascal, por ejemplo, está compuesto únicamente por coeficientes binomiales.
Matemáticamente, los coeficientes binomiales se escriben como dos números alineados verticalmente dentro de un conjunto de paréntesis. El número superior, representado por "N", es el número total de posibilidades. Por lo general, representado por "R" o "K", el número inferior es el número de resultados desordenados que se seleccionarán de "n". Ambos números son positivos, y "n" es mayor o igual a "r".
El coeficiente binomial, o la cantidad de formas en que "R" se puede elegir de "N", se calcula utilizando factores. Un factorial es varios tiempos en el siguiente número más pequeño, el siguiente número más pequeño, y así sucesivamente hasta que la fórmula llegue a una. Está representado mAtemáticamente como n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Cero factorial es igual a uno.
Para un coeficiente binomial, ¡la fórmula es N factorial (n!) Dividida por el producto de (n - r)! Times r!, que generalmente se pueden reducir. Si N es 5 y R es 2, por ejemplo, la fórmula es 5!/(5 - 2)! 2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). En este caso, 3*2*1 está tanto en el numerador como en el denominador, por lo que puede cancelarse fuera de la fracción. Esto da como resultado (5*4)/(2*1), que es igual a 10.
El teorema binomial es una forma de calcular la expansión de una función binomial, representada por (a + b)^n - a plus b a la nth potencia; A y B pueden estar compuestos de variables, constantes o ambas. Para expandir el binomial, el primer término en la expansión es el coeficiente binomial de n y 0 veces a^n. El segundo término es el coeficiente binomial de N y 1 veces A^(N-1) b. Cada término posterior de la expansión se calcula agregando1 al número inferior en el coeficiente binomial, elevando A al poder de n menos ese número, y elevando B al poder de ese número, continuando hasta que el número inferior del coeficiente es igual a n.
Cada número en el triángulo de Pascal es un coeficiente binomial que se puede calcular utilizando la fórmula para los coeficientes binomiales. El triángulo comienza con un 1 en el punto superior, y cada número en una fila inferior se puede calcular agregando las dos entradas diagonalmente sobre él. El triángulo de Pascal tiene varias propiedades matemáticas únicas: además de los coeficientes binomiales, también contiene números de fibonacci y números de figuras.