Quali sono i coefficienti binomiali?
I coefficienti binomiali definiscono il numero di combinazioni possibili quando si seleziona un determinato numero di risultati da un set di una determinata dimensione. Sono usati nel teorema binomiale, che è un metodo per espandere un binomio - una funzione polinomiale contenente due termini. Il triangolo di Pascal, ad esempio, è composto esclusivamente da coefficienti binomiali.
Matematicamente, i coefficienti binomiali sono scritti come due numeri allineati verticalmente all'interno di una serie di parentesi. Il numero in alto, rappresentato da "n", è il numero totale di possibilità. Solitamente rappresentato da "r" o "k", il numero inferiore è il numero di risultati non ordinati da selezionare da "n". Entrambi i numeri sono positivi e "n" è maggiore o uguale a "r".
Il coefficiente binomiale, o il numero di modi in cui "r" può essere scelto da "n", viene calcolato usando fattoriali. Un fattoriale è un numero volte il numero più piccolo successivo per il numero più piccolo successivo e così via fino a quando la formula raggiunge uno. È rappresentato matematicamente come n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Zero fattoriale è uguale a uno.
Per un coefficiente binomiale, la formula è n fattoriale (n!) Divisa per il prodotto di (n - r)! volte r !, che di solito può essere ridotto. Se n è 5 e r è 2, ad esempio, la formula è 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). In questo caso, 3 * 2 * 1 è sia nel numeratore che nel denominatore, quindi può essere cancellato dalla frazione. Ciò si traduce in (5 * 4) / (2 * 1), che equivale a 10.
Il teorema binomiale è un modo per calcolare l'espansione di una funzione binomiale, rappresentata da (a + b) ^ n - a più b all'ennesima potenza; aeb possono essere composti da variabili, costanti o entrambi. Per espandere il binomio, il primo termine dell'espansione è il coefficiente binomiale di n e 0 volte a ^ n. Il secondo termine è il coefficiente binomiale di n e 1 volte a ^ (n-1) b. Ogni termine successivo dell'espansione viene calcolato aggiungendo 1 al numero inferiore nel coefficiente binomiale, aumentando a alla potenza di n meno quel numero e aumentando b alla potenza di quel numero, continuando fino a quando il numero inferiore del coefficiente è uguale n.
Ogni numero nel triangolo di Pascal è un coefficiente binomiale che può essere calcolato usando la formula per i coefficienti binomiali. Il triangolo inizia con un 1 nel punto superiore e ogni numero in una riga inferiore può essere calcolato sommando le due voci in diagonale sopra di esso. Il triangolo di Pascal ha diverse proprietà matematiche uniche: oltre ai coefficienti binomiali, contiene anche numeri di Fibonacci e numeri figurati.