Cosa sono i coefficienti binomiali?
I coefficienti binomiali definiscono il numero di combinazioni che sono possibili quando si sceglie un certo numero di risultati da un insieme di una determinata dimensione. Sono usati nel teorema binomiale, che è un metodo per espandere un binomiale - una funzione polinomiale contenente due termini. Il triangolo di Pascal, ad esempio, è composto esclusivamente da coefficienti binomiali.
matematicamente, i coefficienti binomiali sono scritti come due numeri allineati verticalmente all'interno di una serie di parentesi. Il numero superiore, rappresentato da "N", è il numero totale di possibilità. Di solito rappresentato da "R" o "K", il numero inferiore è il numero di risultati non ordinati da selezionare da "N". Entrambi i numeri sono positivi e "N" è maggiore o uguale a "r."
Il coefficiente binomiale o il numero di modi in cui "R" può essere scelto da "N", viene calcolato usando fattoriali. Un fattoriale è un numero numero del numero più piccolo più piccolo il numero più piccolo successivo, e così via fino a quando la formula non raggiunge uno. È rappresentato mAthematicamente come n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Zero fattoriale è uguale a uno.
Per un coefficiente binomiale, la formula è N fattoriale (N!) Divisa per il prodotto di (N - R)! Times R!, che di solito può essere ridotto. Se N è 5 e R è 2, ad esempio, la formula è 5!/(5 - 2)! 2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). In questo caso, 3*2*1 è sia nel numeratore che nel denominatore, quindi può essere annullato dalla frazione. Ciò si traduce in (5*4)/(2*1), che equivale a 10.
Il teorema binomiale è un modo per calcolare l'espansione di una funzione binomiale, rappresentata da (a + b)^n - a più b all'ennesima potenza; A e B possono essere composti da variabili, costanti o entrambi. Per espandere il binomiale, il primo termine nell'espansione è il coefficiente binomiale di N e 0 volte a^n. Il secondo termine è il coefficiente binomiale di N e 1 volte a^(n-1) b. Ogni termine successivo dell'espansione viene calcolato aggiungendo1 al numero inferiore nel coefficiente binomiale, aumentando A alla potenza di N meno quel numero, e aumentando B alla potenza di quel numero, continuando fino al numero inferiore del coefficiente uguale a n.
Ogni numero nel triangolo di Pascal è un coefficiente binomiale che può essere calcolato usando la formula per i coefficienti binomiali. Il triangolo inizia con un 1 nel punto superiore e ogni numero in una riga inferiore può essere calcolato aggiungendo insieme le due voci in diagonale sopra di esso. Il triangolo di Pascal ha diverse proprietà matematiche uniche - oltre ai coefficienti binomiali, contiene anche numeri di Fibonacci e numeri figurati.