Jaké jsou binomické koeficienty?

Binomické koeficienty definují počet kombinací, které jsou možné při výběru určitého počtu výsledků ze sady dané velikosti. Používají se v binomické větě, což je metoda rozšíření binomického - polynomiální funkce obsahující dva termíny. Například Pascalův trojúhelník je složen výhradně z binomických koeficientů.

Matematicky jsou binomické koeficienty psány jako dvě čísla vertikálně zarovnána v sadě závorek. Nejvyšší číslo, které představuje „n“, je celkový počet možností. Obvykle reprezentované „r“ nebo „k“ je spodním číslem počtu neuspořádaných výsledků, které mají být vybrány z „n“. Obě čísla jsou pozitivní a „n“ je větší nebo rovná „r“.

Binomický koeficient nebo počet způsobů, jak lze „r“ vybrat z „n“, se vypočítá pomocí faktoriálů. Fatorial je mnohokrát nejmenší nejmenší počet časů dalšího nejmenšího čísla a tak dále, dokud vzorec nedosáhne jednoho. Je reprezentováno mAthematicy jako n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Zero Factorial se rovná jednomu.

Pro binomický koeficient je vzorec n faktoriální (n!) Dělený produktem (n - r)! časy r!, které lze obvykle snížit. Pokud je například n 5 a r je 2, vzorec je 5!/(5 - 2)! 2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). V tomto případě je 3*2*1 v čitateli i jmenovateli, takže může být zrušena z zlomku. To má za následek (5*4)/(2*1), což se rovná 10.

Binomická věta je způsob, jak vypočítat rozšiřování binomické funkce, reprezentované (A + B)^n - A plus B k Nth Power; A a B mohou být složeny z proměnných, konstant nebo obojí. Pro rozšíření binomia je prvním termínem v expanzi binomický koeficient n a 0krát a^n. Druhým termínem je binomický koeficient n a 1krát a^(n-1) b. Každý následující období expanze se vypočítá přidáním1 ke spodnímu číslu v binomickém koeficientu, zvýšení A na sílu n mínus tohoto čísla a zvýšení B na sílu tohoto čísla, pokračování, dokud se spodní číslo koeficientu nerovná n.

Každé číslo v Pascalově trojúhelníku je binomický koeficient, který lze vypočítat pomocí vzorce pro binomické koeficienty. Trojúhelník začíná 1 v horním bodě a každé číslo v dolním řádku lze vypočítat sčítáním těchto dvou položek diagonálně nad ním. Pascalův trojúhelník má několik jedinečných matematických vlastností - kromě binomických koeficientů také obsahuje fibonacci čísla a figurální čísla.