Co jsou binomické koeficienty?

Binomické koeficienty definují počet kombinací, které jsou možné při výběru určitého počtu výsledků ze sady dané velikosti. Používají se v binomické větě, což je metoda expanze binomického - polynomiální funkce obsahující dva termíny. Pascalův trojúhelník je například složen pouze z binomických koeficientů.

Matematicky jsou binomické koeficienty psány jako dvě čísla svisle zarovnána v sadě závorek. Horní číslo představované „n“ je celkový počet možností. Obvykle reprezentované "r" nebo "k", spodní číslo je počet neuspořádaných výstupů, které mají být vybrány z "n". Obě čísla jsou kladná a „n“ je větší nebo rovno „r“.

Binomický koeficient nebo počet způsobů, ze kterých lze „r“ vybrat z „n“, se vypočítá pomocí faktoriálů. Faktoriál je číslo krát další nejmenší číslo krát další nejmenší číslo atd., Dokud vzorec nedosáhne jednoho. Matematicky je reprezentován jako n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Nulový faktoriál se rovná jedné.

Pro binomický koeficient je rovnice n faktoriál (n!) Dělený součinem (n - r)! časy r !, které lze obvykle zkrátit. Pokud například n je 5 a r je 2, je vzorec 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). V tomto případě je 3 * 2 * 1 jak v čitateli, tak ve jmenovateli, takže jej lze z frakce zrušit. Výsledkem je (5 * 4) / (2 * 1), což se rovná 10.

Binomická věta je způsob, jak vypočítat rozšíření binomické funkce, reprezentované (a + b) ^ n - a plus b na n-tou moc; aab mohou být složeny z proměnných, konstant nebo obou. Pro rozšíření binomie je prvním členem v expanzi binomický koeficient n a 0krát a ^ n. Druhý člen je binomický koeficient n a 1 krát a ^ (n-1) b. Každý následující termín expanze se vypočítá tak, že se k binomickému koeficientu přidá 1 k dolnímu číslu, zvýší se a na sílu n mínus toto číslo a zvýší se b na sílu tohoto čísla a pokračuje, dokud se spodní číslo koeficientu nerovná n.

Každé číslo v Pascalově trojúhelníku je binomický koeficient, který lze vypočítat pomocí vzorce pro binomické koeficienty. Trojúhelník začíná číslem 1 v horním bodě a každé číslo ve spodním řádku lze spočítat součtem dvou položek diagonálně nad ním. Pascalův trojúhelník má několik jedinečných matematických vlastností - kromě binomických koeficientů obsahuje také Fibonacciho čísla a čísla figurat.