Que sont les coefficients binomiaux?
Les coefficients binomiaux définissent le nombre de combinaisons possibles lors de la sélection d'un certain nombre de résultats dans un ensemble d'une taille donnée. Ils sont utilisés dans le théorème binomial, qui est une méthode pour développer un binôme - une fonction polynomiale contenant deux termes. Le triangle de Pascal, par exemple, est composé uniquement de coefficients binomiaux.
Mathématiquement, les coefficients binomiaux sont écrits sous forme de deux nombres alignés verticalement dans un ensemble de parenthèses. Le nombre supérieur, représenté par "n", représente le nombre total de possibilités. Habituellement représenté par "r" ou "k", le chiffre du bas est le nombre de résultats non ordonnés à sélectionner dans "n". Les deux nombres sont positifs et "n" est supérieur ou égal à "r".
Le coefficient binomial, ou le nombre de façons dont "r" peut être sélectionné à partir de "n", est calculé à l'aide de factorielles. Une factorielle est un nombre multiplié par le nombre le plus petit suivant multiplié par le nombre le plus petit suivant, et ainsi de suite jusqu'à ce que la formule atteigne un. Il est représenté mathématiquement comme n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Le facteur zéro est égal à un.
Pour un coefficient binomial, la formule est n factorielle (n!) Divisée par le produit de (n - r)! fois r !, ce qui peut généralement être réduit. Si n est 5 et r est 2, par exemple, la formule est 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). Dans ce cas, 3 * 2 * 1 est à la fois au numérateur et au dénominateur, ce qui permet de l'annuler de la fraction. Cela donne (5 * 4) / (2 * 1), ce qui équivaut à 10.
Le théorème binomial est un moyen de calculer l'expansion d'une fonction binomiale, représentée par (a + b) ^ n - a plus b à la puissance nième; a et b peuvent être composés de variables, de constantes ou des deux. Pour développer le binôme, le premier terme du développement est le coefficient binomial de n et 0 fois a ^ n. Le deuxième terme est le coefficient binomial de n et 1 fois a ^ (n-1) b. Chaque terme ultérieur de l'expansion est calculé en ajoutant 1 au nombre inférieur du coefficient binomial, en augmentant a à la puissance de n moins ce nombre et en élevant b à la puissance de ce nombre, en continuant jusqu'à ce que le nombre inférieur du coefficient soit égal à n.
Chaque nombre dans le triangle de Pascal est un coefficient binomial qui peut être calculé à l'aide de la formule des coefficients binomiaux. Le triangle commence par un 1 en haut et chaque nombre de la rangée inférieure peut être calculé en additionnant les deux entrées en diagonale au-dessus. Le triangle de Pascal possède plusieurs propriétés mathématiques uniques. Outre les coefficients binomiaux, il contient également des nombres de Fibonacci et des nombres figurés.