Que sont les coefficients binomiaux?
Les coefficients binomiaux définissent le nombre de combinaisons possibles lors de la sélection d'un certain nombre de résultats à partir d'un ensemble d'une taille donnée. Ils sont utilisés dans le théorème binomial, qui est une méthode pour étendre un binomial - une fonction polynomiale contenant deux termes. Le triangle de Pascal, par exemple, est composé uniquement de coefficients binomiaux.
Mathématiquement, les coefficients binomiaux sont écrits comme deux nombres alignés verticalement dans un ensemble de parenthèses. Le nombre le plus élevé, représenté par «N», est le nombre total de possibilités. Habituellement représenté par "R" ou "K", le nombre inférieur est le nombre de résultats non ordonnés à sélectionner parmi "n". Les deux nombres sont positifs et "n" est supérieur ou égal à "r".
Le coefficient binomial, ou le nombre de façons dont "r" peut être choisi dans "n", est calculé à l'aide de factoriels. Une factorielle est un nombre de fois le plus petit nombre le plus petit fois le plus petit nombre le plus petit, et ainsi de suite jusqu'à ce que la formule atteigne une. Il est représenté mATHÉMATIMATIQUE comme n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Zéro factoriel est égal à un.
Pour un coefficient binomial, la formule est n factorielle (n!) Divisée par le produit de (n - r)! fois r!, qui peut généralement être réduit. Si n est 5 et R est 2, par exemple, la formule est de 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). Dans ce cas, 3 * 2 * 1 se trouve à la fois dans le numérateur et le dénominateur, il peut donc être annulé hors de la fraction. Il en résulte (5 * 4) / (2 * 1), ce qui équivaut à 10.
Le théorème binomial est un moyen de calculer l'expansion d'une fonction binomiale, représentée par (a + b) ^ n - a plus b à la nième puissance; A et B peuvent être composés de variables, de constantes ou des deux. Pour étendre le binomial, le premier terme de l'expansion est le coefficient binomial de n et 0 fois a ^ n. Le deuxième terme est le coefficient binomial de n et 1 fois a ^ (n-1) b. Chaque terme ultérieur de l'expansion est calculé en ajoutant1 au nombre inférieur dans le coefficient binomial, augmentant A à la puissance de n moins ce nombre, et augmentant B à la puissance de ce nombre, en continuant jusqu'à ce que le nombre inférieur du coefficient égal à n.
Chaque nombre du triangle de Pascal est un coefficient binomial qui peut être calculé à l'aide de la formule pour les coefficients binomiaux. Le triangle commence par un 1 au point supérieur, et chaque nombre dans une rangée inférieure peut être calculé en additionnant les deux entrées en diagonale au-dessus. Le triangle de Pascal possède plusieurs propriétés mathématiques uniques - en plus des coefficients binomiaux, il contient également des nombres de fibonacci et des nombres figurés.