O que são coeficientes binomiais?
Os coeficientes binomiais
definem o número de combinações que são possíveis ao escolher um certo número de resultados de um conjunto de um determinado tamanho. Eles são usados no teorema binomial, que é um método de expansão de um binomial - uma função polinomial contendo dois termos. O triângulo de Pascal, por exemplo, é composto apenas por coeficientes binomiais.
Matematicamente, os coeficientes binomiais são escritos como dois números alinhados verticalmente dentro de um conjunto de parênteses. O número superior, representado por "n", é o número total de possibilidades. Geralmente representado por "R" ou "K", o número inferior é o número de resultados não ordenados a serem selecionados de "n". Ambos os números são positivos e "n" é maior ou igual a "r".
O coeficiente binomial, ou o número de maneiras pelas quais "r" pode ser escolhido em "n" é calculado usando fatoriais. Uma fatorial é uma série vezes o próximo número menor das vezes o próximo número menor, e assim por diante até que a fórmula atinja uma. É representado mathematicaticamente como n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). O fatorial zero é igual a um.
Para um coeficiente binomial, a fórmula é N fatorial (n!) Dividida pelo produto de (n - r)! vezes r!, que geralmente pode ser reduzido. Se n é 5 e R é 2, por exemplo, a fórmula é 5!/(5 - 2)! 2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). Nesse caso, 3*2*1 está no numerador e no denominador, para que possa ser cancelado da fração. Isso resulta em (5*4)/(2*1), que é igual a 10.
O teorema binomial é uma maneira de calcular a expansão de uma função binomial, representada por (a + b)^n - a mais b para a enésima potência; A e B podem ser compostos de variáveis, constantes ou ambas. Para expandir o binomial, o primeiro termo na expansão é o coeficiente binomial de n e 0 vezes a^n. O segundo termo é o coeficiente binomial de n e 1 vezes a^(n-1) b. Cada termo subsequente da expansão é calculado adicionando1 ao número inferior no coeficiente binomial, elevando A para o poder de n menos esse número e elevando B ao poder desse número, continuando até o número inferior do coeficiente igual a n.
Cada número no triângulo de Pascal é um coeficiente binomial que pode ser calculado usando a fórmula para coeficientes binomiais. O triângulo começa com um 1 no ponto superior, e cada número em uma linha inferior pode ser calculado adicionando as duas entradas diagonalmente acima dele. O Triângulo de Pascal possui várias propriedades matemáticas únicas - além dos coeficientes binomiais, ele também contém números de fibonacci e números de figuramento.