O que são coeficientes binomiais?
Os coeficientes binomiais definem o número de combinações possíveis ao escolher um certo número de resultados de um conjunto de um determinado tamanho. Eles são usados no teorema do binômio, que é um método de expansão de um binômio - uma função polinomial contendo dois termos. O triângulo de Pascal, por exemplo, é composto apenas por coeficientes binomiais.
Matematicamente, os coeficientes binomiais são escritos como dois números alinhados verticalmente dentro de um conjunto de parênteses. O número superior, representado por "n", é o número total de possibilidades. Geralmente representado por "r" ou "k", o número inferior é o número de resultados não ordenados a serem selecionados de "n". Ambos os números são positivos e "n" é maior ou igual a "r".
O coeficiente binomial, ou o número de maneiras pelas quais "r" pode ser selecionado entre "n", é calculado usando fatoriais. Um fatorial é um número vezes o próximo número menor vezes o próximo número menor e assim sucessivamente até que a fórmula atinja um. É representado matematicamente como n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). O fatorial zero é igual a um.
Para um coeficiente binomial, a fórmula é n fatorial (n!) Dividida pelo produto de (n - r)! vezes r !, que geralmente pode ser reduzido. Se n for 5 e r for 2, por exemplo, a fórmula será 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). Nesse caso, 3 * 2 * 1 está no numerador e no denominador, portanto, pode ser cancelado da fração. Isso resulta em (5 * 4) / (2 * 1), que é igual a 10.
O teorema binomial é uma maneira de calcular a expansão de uma função binomial, representada por (a + b) ^ n - a mais b à enésima potência; aeb podem ser compostos de variáveis, constantes ou ambas. Para expandir o binômio, o primeiro termo na expansão é o coeficiente binomial de n e 0 vezes a ^ n. O segundo termo é o coeficiente binomial de n e 1 vezes a ^ (n-1) b. Cada termo subseqüente da expansão é calculado adicionando 1 ao número inferior no coeficiente binomial, aumentando a à potência de n menos esse número e aumentando b à potência desse número, continuando até que o número inferior do coeficiente seja igual a n.
Cada número no triângulo de Pascal é um coeficiente binomial que pode ser calculado usando a fórmula dos coeficientes binomiais. O triângulo começa com 1 no ponto superior e cada número em uma linha inferior pode ser calculado adicionando as duas entradas na diagonal acima dele. O triângulo de Pascal possui várias propriedades matemáticas únicas - além dos coeficientes binomiais, também contém números de Fibonacci e números figurados.