Hva er binomiale koeffisienter?

Binomiale koeffisienter definerer antall kombinasjoner som er mulige når du velger et visst antall utfall fra et sett med en gitt størrelse. De brukes i binomialteoremet, som er en metode for å utvide en binomial - en polynomfunksjon som inneholder to betegnelser. Pascal triangel er for eksempel kun sammensatt av binomiale koeffisienter.

Matematisk blir binomiale koeffisienter skrevet som to tall vertikalt justert i et sett med parenteser. Det øverste tallet, representert med "n", er det totale antallet muligheter. Vanligvis representert med "r" eller "k", er det nederste tallet antallet uordnede utfall som skal velges fra "n." Begge tall er positive, og "n" er større enn eller lik "r."

Binomialkoeffisienten, eller antallet måter som "r" kan velges fra "n", beregnes ved å bruke fakta. En faktorial er et antall ganger det neste minste tallet ganger det neste minste tallet, og så videre til formelen når en. Det er matematisk representert som n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Null factorial er lik en.

For en binomial koeffisient er formelen n factorial (n!) Delt på produktet av (n - r)! ganger r !, som vanligvis kan reduseres. Hvis n er 5 og r er for eksempel 2, er formelen 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). I dette tilfellet er 3 * 2 * 1 i både telleren og nevneren, så den kan avbrytes ut av brøkdelen. Dette resulterer i (5 * 4) / (2 * 1), som tilsvarer 10.

Binomialteoremet er en måte å beregne utvidelsen av en binomialfunksjon, representert med (a + b) ^ n - et pluss b til den ndte kraften; a og b kan være sammensatt av variabler, konstanter eller begge deler. For å utvide binomialen, er den første termen i utvidelsen binomialkoeffisienten på n og 0 ganger a ^ n. Den andre termen er den binomielle koeffisienten av n og 1 ganger a ^ (n-1) b. Hver påfølgende term av utvidelsen beregnes ved å legge til 1 til bunntallet i den binomielle koeffisienten, heve a til kraften til n minus det tallet, og heve b til kraften til det tallet, fortsette til det nederste tallet på koeffisienten er lik n.

Hvert nummer i Pascals trekant er en binomialkoeffisient som kan beregnes ved å bruke formelen for binomiale koeffisienter. Trekanten begynner med en 1 på det øverste punktet, og hvert tall i en nedre rad kan beregnes ved å legge sammen de to oppføringene diagonalt over den. Pascal triangel har flere unike matematiske egenskaper - i tillegg til binomiale koeffisienter, inneholder den også Fibonacci-tall og figurnummer.