Was sind Binomialkoeffizienten?
Binomialkoeffizienten definieren die Anzahl der Kombinationen, die möglich sind, wenn eine bestimmte Anzahl von Ergebnissen aus einer Menge einer bestimmten Größe ausgewählt wird. Sie werden im Binomialsatz verwendet, bei dem es sich um eine Methode zum Erweitern eines Binoms handelt - eine Polynomfunktion, die zwei Terme enthält. Das Pascalsche Dreieck besteht zum Beispiel nur aus Binomialkoeffizienten.
Mathematisch gesehen werden Binomialkoeffizienten als zwei Zahlen geschrieben, die in Klammern vertikal ausgerichtet sind. Die höchste Zahl, dargestellt durch "n", gibt die Gesamtzahl der Möglichkeiten an. Normalerweise durch "r" oder "k" dargestellt, ist die untere Zahl die Anzahl der ungeordneten Ergebnisse, die aus "n" ausgewählt werden sollen. Beide Zahlen sind positiv und "n" ist größer oder gleich "r".
Der Binomialkoeffizient oder die Anzahl der Möglichkeiten, wie "r" aus "n" ausgewählt werden kann, wird unter Verwendung von Fakultäten berechnet. Eine Fakultät ist eine Zahl multipliziert mit der nächstkleineren Zahl multipliziert mit der nächstkleineren Zahl usw., bis die Formel eins erreicht. Es wird mathematisch als n dargestellt! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Die Fakultät Null ist gleich Eins.
Für einen Binomialkoeffizienten ist die Formel n Fakultät (n!) Geteilt durch das Produkt von (n - r)! mal r !, was in der Regel reduziert werden kann. Wenn n beispielsweise 5 ist und r 2 ist, lautet die Formel 5! / (5 - 2)! 2! = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) / ((3 · 2 · 1) · (2 · 1)). In diesem Fall steht 3 * 2 * 1 sowohl für den Zähler als auch für den Nenner, sodass er aus dem Bruch gestrichen werden kann. Dies ergibt (5 * 4) / (2 * 1), was 10 entspricht.
Der Binomialsatz ist eine Methode zur Berechnung der Ausdehnung einer Binomialfunktion, dargestellt durch (a + b) ^ n - a plus b zur n-ten Potenz; a und b können aus Variablen, Konstanten oder beidem bestehen. Um das Binom zu erweitern, ist der erste Term in der Erweiterung der Binomialkoeffizient von n und dem 0-fachen von a ^ n. Der zweite Term ist der Binomialkoeffizient von n und dem 1-fachen von a ^ (n-1) b. Jeder nachfolgende Ausdruck der Erweiterung wird berechnet, indem 1 zu der untersten Zahl im Binomialkoeffizienten addiert wird, a zur Potenz von n minus dieser Zahl erhöht wird und b zur Potenz dieser Zahl erhöht wird, bis die unterste Zahl des Koeffizienten gleich ist n
Jede Zahl im Pascalschen Dreieck ist ein Binomialkoeffizient, der mit der Formel für Binomialkoeffizienten berechnet werden kann. Das Dreieck beginnt mit einer 1 am oberen Punkt, und jede Zahl in einer unteren Reihe kann berechnet werden, indem die beiden Einträge diagonal darüber addiert werden. Pascals Dreieck hat mehrere einzigartige mathematische Eigenschaften - neben Binomialkoeffizienten enthält es auch Fibonacci-Zahlen und figurative Zahlen.