Hvad er binomiale koefficienter?

Binomiale koefficienter definerer antallet af kombinationer, der er mulige, når man vælger et vist antal resultater fra et sæt af en given størrelse. De bruges i den binomiale teorem, som er en metode til at udvide en binomial - en polynomial funktion, der indeholder to udtryk. Pascal's trekant er for eksempel udelukkende sammensat af binomiale koefficienter.

Matematisk skrives binomiale koefficienter som to tal lodret på linje inden for et sæt parenteser. Det øverste antal repræsenteret med "n" er det samlede antal muligheder. Normalt repræsenteret med "r" eller "k", er det nederste nummer antallet af uordnede resultater, der skal vælges fra "n." Begge tal er positive, og "n" er større end eller lig med "r."

Binomialkoefficienten, eller antallet af måder, at "r" kan vælges fra "n", beregnes ved hjælp af faktorer. En faktorial er et antal gange det næste mindste antal gange det næste mindste antal, og så videre, indtil formlen når en. Det er matematisk repræsenteret som n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Nul factorial er lig med en.

For en binomisk koefficient er formlen n factorial (n!) Divideret med produktet af (n - r)! gange r !, hvilket normalt kan reduceres. Hvis n er 5 og r er for eksempel 2, er formlen 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). I dette tilfælde er 3 * 2 * 1 i både tælleren og nævneren, så det kan annulleres ud af brøkdelen. Dette resulterer i (5 * 4) / (2 * 1), hvilket er lig med 10.

Binomialteoremet er en måde at beregne udvidelsen af ​​en binomial funktion repræsenteret af (a + b) ^ n - et plus b til den niende effekt; a og b kan være sammensat af variabler, konstanter eller begge dele. For at udvide binomialen er den første term i udvidelsen den binomiale koefficient på n og 0 gange a ^ n. Den anden term er den binomiale koefficient på n og 1 gange a ^ (n-1) b. Hver efterfølgende term i ekspansionen beregnes ved at tilføje 1 til bundtallet i den binomiale koefficient, hæve a til effekten af ​​minus minus det antal og hæve b til kraften i det nummer, fortsætte indtil det nederste antal af koefficienten er lig n.

Hvert tal i Pascal's trekant er en binomial koefficient, der kan beregnes ved hjælp af formlen for binomiale koefficienter. Trekanten begynder med en 1 på det øverste punkt, og hvert tal i en nedre række kan beregnes ved at tilføje de to poster diagonalt over den. Pascal's trekant har adskillige unikke matematiske egenskaber - ud over binomiale koefficienter indeholder den også Fibonacci-tal og figurnummer.