Co to są współczynniki dwumianowe?

Współczynniki dwumianowe określają liczbę kombinacji, które są możliwe przy wyborze pewnej liczby wyników z zestawu danego rozmiaru. Są one stosowane w twierdzeniu dwumianowym, które jest metodą rozszerzenia dwumianowej - funkcji wielomianowej zawierającej dwa terminy. Na przykład trójkąt Pascala składa się wyłącznie ze współczynników dwumianowych.

Matematycznie współczynniki dwumianowe są zapisywane jako dwie liczby pionowo wyrównane w zestawie nawiasów. Najważniejsza liczba, reprezentowana przez „N”, to całkowita liczba możliwości. Zwykle reprezentowany przez „R” lub „K”, dolna liczba to liczba nieoporządkowanych wyników do wybrania z „N”. Obie liczby są pozytywne, a „N” jest większa lub równa „R”.

Współczynnik dwumianowy lub liczba sposobów, w jakie „R” można wybrać z „N”, oblicza się za pomocą czynników. Traktowanie to razy kolejna najmniejsza liczba razy kolejna najmniejsza liczba i tak dalej, aż formuła osiągnie jedną. Jest reprezentowany mAthematycznie jak N! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Zero czynnik jest równy jeden.

W przypadku współczynnika dwumianowego wzór jest N Factoral (n!) Podzielony przez produkt (n - r)! czasy r!, które zwykle można zmniejszyć. Jeśli n wynosi 5, a R to 2, na przykład formuła to 5!/(5 - 2)! 2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). W takim przypadku 3*2*1 jest zarówno w liczniku, jak i mianowniku, więc można go anulować z ułamka. Powoduje to (5*4)/(2*1), co równa się 10.

Twierdzenie dwumianowe jest sposobem na obliczenie ekspansji funkcji dwumianowej, reprezentowanej przez (a + b)^n - a plus b do n -th mocy; A i B mogą składać się ze zmiennych, stałych lub obu. Aby rozszerzyć dwumianowy, pierwszym terminem w ekspansji jest współczynnik dwumianowy N i 0 razy a^n. Drugi termin jest współczynnikiem dwumianowym N i 1 razy A^(n-1) b. Każdy późniejszy termin rozszerzenia jest obliczany przez dodanie1 do dolnej liczby w współczynniku dwumianowym, podnosząc A do mocy n minus tej liczby i podnosząc B do mocy tej liczby, trwając, aż dolna liczba współczynnika będzie równa n.

Każda liczba w trójkącie Pascala jest współczynnikiem dwumianowym, który można obliczyć przy użyciu wzoru dla współczynników dwumianowych. Trójkąt zaczyna się od 1 w górnym punkcie, a każdą liczbę w dolnym rzędzie można obliczyć, dodając dwa wpisy po przekątnej nad nim. Trójkąt Pascala ma kilka unikalnych właściwości matematycznych - oprócz współczynników dwumianowych, zawiera również liczby Fibonacciego i liczby figurowe.