Jakie są współczynniki dwumianowe?

Współczynniki dwumianowe określają liczbę kombinacji, które są możliwe przy wybieraniu określonej liczby wyników ze zbioru o danym rozmiarze. Są one używane w twierdzeniu dwumianowym, które jest metodą rozszerzania dwumianu - funkcji wielomianowej zawierającej dwa terminy. Na przykład trójkąt Pascala składa się wyłącznie ze współczynników dwumianowych.

Matematycznie współczynniki dwumianowe są zapisywane jako dwie liczby wyrównane pionowo w zestawie nawiasów. Najwyższa liczba reprezentowana przez „n” to całkowita liczba możliwości. Zazwyczaj reprezentowana przez „r” lub „k”, dolna liczba to liczba nieuporządkowanych wyników, które można wybrać spośród „n”. Obie liczby są dodatnie, a „n” jest większe lub równe „r”.

Współczynnik dwumianowy lub liczbę sposobów, w których „r” można wybrać z „n”, oblicza się za pomocą silni. Silnia to liczba razy następna najmniejsza liczba razy następna najmniejsza liczba i tak dalej, aż formuła osiągnie jeden. Jest reprezentowany matematycznie jako n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Zero silnia jest równa jeden.

Dla współczynnika dwumianowego wzór jest n silni (n!) Podzielony przez iloczyn (n - r)! razy r !, które zwykle można zmniejszyć. Jeśli na przykład n wynosi 5, a r oznacza 2, wzór jest równy 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). W tym przypadku 3 * 2 * 1 znajduje się zarówno w liczniku, jak i mianowniku, więc można go skasować z ułamka. Daje to (5 * 4) / (2 * 1), co równa się 10.

Twierdzenie o dwumianach jest sposobem na obliczenie rozszerzenia funkcji dwumianowej reprezentowanej przez (a + b) ^ n - plus b do n-tej potęgi; aib mogą składać się ze zmiennych, stałych lub obu. Aby rozwinąć dwumian, pierwszym składnikiem rozszerzenia jest dwumianowy współczynnik n i 0 razy a ^ n. Drugi człon to dwumianowy współczynnik n i 1 razy a ^ (n-1) b. Każdy kolejny element rozszerzenia jest obliczany przez dodanie 1 do dolnej liczby we współczynniku dwumianowym, podniesienie a do potęgi n minus tę liczbę i podniesienie b do potęgi tej liczby, kontynuując aż dolna liczba współczynnika będzie równa n.

Każda liczba w trójkącie Pascala jest dwumianowym współczynnikiem, który można obliczyć za pomocą wzoru na współczynniki dwumianowe. Trójkąt zaczyna się od 1 w górnym punkcie, a każdą liczbę w dolnym rzędzie można obliczyć, dodając do siebie dwa wpisy po przekątnej powyżej. Trójkąt Pascala ma kilka unikalnych właściwości matematycznych - oprócz współczynników dwumianowych zawiera również liczby Fibonacciego i liczby figuratywne.