Vad är binomiala koefficienter?

binomiala koefficienter definierar antalet kombinationer som är möjliga när man väljer ett visst antal resultat från en uppsättning av en viss storlek. De används i binomialteoremet, som är en metod för att utvidga en binomial - en polynomfunktion som innehåller två termer. Pascals triangel, till exempel, består endast av binomiala koefficienter.

Matematiskt skrivs binomiala koefficienter som två nummer vertikalt inriktade i en uppsättning av parentes. Det översta numret, representerat av "N", är det totala antalet möjligheter. Vanligtvis representerat av "R" eller "K", det nedre numret är antalet oordnade resultat som ska väljas från "n." Båda siffrorna är positiva och "n" är större än eller lika med "r."

Binomialkoefficienten, eller antalet sätt som "r" kan plockas från "n", beräknas med hjälp av faktorier. En faktoral är ett antal gånger det näst minsta antalet gånger det näst minsta antalet, och så vidare tills formeln når en. Det representeras mAtematiskt som n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Nollfaktorial är lika med en.

För en binomial koefficient är formeln n factorial (n!) dividerat med produkten av (n - r)! gånger r!, som vanligtvis kan minskas. Om N är 5 och R är 2, till exempel, är formeln 5!/(5 - 2)! 2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). I detta fall är 3*2*1 både i teller och nämnaren, så att den kan avbrytas ur fraktionen. Detta resulterar i (5*4)/(2*1), vilket motsvarar 10.

Binomial teorem är ett sätt att beräkna utvidgningen av en binomialfunktion, representerad av (a + b)^n - a plus b till den nionde kraften; A och B kan bestå av variabler, konstanter eller båda. För att utvidga binomialen är den första termen i expansionen den binomiala koefficienten för N och 0 gånger a^n. Den andra termen är binomialkoefficienten för N och 1 gånger a^(n-1) b. Varje efterföljande period av utvidgningen beräknas genom att lägga till1 till det nedre numret i binomialkoefficienten, höjer A till kraften hos N minus det antalet och höjer B till kraften i det numret, fortsätter tills det nedre numret på koefficienten är lika med n.

Varje nummer i Pascals triangel är en binomial koefficient som kan beräknas med hjälp av formeln för binomiala koefficienter. Triangeln börjar med en 1 vid topppunkten, och varje nummer i en lägre rad kan beräknas genom att lägga till de två posterna diagonalt ovanför den. Pascal's triangel har flera unika matematiska egenskaper - Förutom binomiala koefficienter innehåller den också Fibonacci -nummer och figurerar siffror.