Vad är binomialkoefficienter?

Binomialkoefficienter definierar antalet kombinationer som är möjliga när man väljer ett visst antal resultat från en uppsättning av en given storlek. De används i binomialteoremet, som är en metod för att expandera en binomial - en polynomfunktion som innehåller två termer. Pascal triangel består till exempel enbart av binomialkoefficienter.

Matematiskt skrivs binomialkoefficienter som två siffror vertikalt inriktade inom en uppsättning parenteser. Det översta antalet, representerat av "n", är det totala antalet möjligheter. Vanligtvis representeras av "r" eller "k", är det undre numret antalet oordnade resultat som ska väljas från "n". Båda siffrorna är positiva och "n" är större än eller lika med "r."

Den binomiala koefficienten, eller antalet sätt som "r" kan väljas från "n", beräknas med hjälp av faktorer. En faktorial är ett nummer gånger nästa minsta nummer gånger nästa minsta nummer, och så vidare tills formeln når en. Det representeras matematiskt som n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Noll factorial är lika med en.

För en binomial koefficient är formeln n faktorial (n!) Dividerat med produkten från (n - r)! gånger r !, vilket vanligtvis kan reduceras. Om n är 5 och r är till exempel, är formeln 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). I det här fallet är 3 * 2 * 1 i både telleren och nämnaren, så det kan avbrytas ur bråket. Detta resulterar i (5 * 4) / (2 * 1), vilket är lika med 10.

Binomialteoremet är ett sätt att beräkna utvidgningen av en binomial funktion, representerad av (a + b) ^ n - ett plus b till den n: e kraften; a och b kan bestå av variabler, konstanter eller båda. För att expandera binomialen är den första termen i expansionen binomialkoefficienten n och 0 gånger a ^ n. Den andra termen är den binomiala koefficienten av n och 1 gånger a ^ (n-1) b. Varje efterföljande term på utvidgningen beräknas genom att lägga till 1 till bottennumret i den binomiala koefficienten, höja a till kraften på n minus det antalet och höja b till kraften hos det numret, fortsätta tills det undre numret av koefficienten är lika n.

Varje nummer i Pascals triangel är en binomialkoefficient som kan beräknas med formeln för binomialkoefficienter. Triangeln börjar med en 1 i den övre punkten, och varje nummer i en nedre rad kan beräknas genom att lägga ihop de två posterna diagonalt ovanför den. Pascal triangel har flera unika matematiska egenskaper - förutom binomialkoefficienter innehåller den också Fibonacci-nummer och figurnummer.