Wat zijn binomiale coëfficiënten?
Binomiale coëfficiënten bepalen het aantal combinaties dat mogelijk is bij het kiezen van een bepaald aantal uitkomsten uit een set van een gegeven grootte. Ze worden gebruikt in de binomiale stelling, wat een methode is om een binomiaal uit te breiden - een polynoomfunctie die twee termen bevat. De driehoek van Pascal bestaat bijvoorbeeld alleen uit binomiale coëfficiënten.
Wiskundig worden binomiale coëfficiënten geschreven als twee getallen die verticaal zijn uitgelijnd binnen een set haakjes. Het bovenste nummer, voorgesteld door "n", is het totale aantal mogelijkheden. Gewoonlijk weergegeven door "r" of "k", is het onderste getal het aantal niet-geordende resultaten dat moet worden gekozen uit "n". Beide getallen zijn positief en "n" is groter dan of gelijk aan "r".
De binomiale coëfficiënt, of het aantal manieren waarop "r" kan worden gekozen uit "n", wordt berekend met behulp van faculteiten. Een faculteit is een getal maal het volgende kleinste getal maal het volgende kleinste getal, enzovoort, totdat de formule er een bereikt. Het wordt wiskundig weergegeven als n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Nul faculteit is gelijk aan één.
Voor een binomiale coëfficiënt is de formule n faculteit (n!) Gedeeld door het product van (n - r)! keer r !, die meestal kan worden verminderd. Als n 5 is en r bijvoorbeeld 2, is de formule 5! / (5 - 2)! 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)). In dit geval bevindt 3 * 2 * 1 zich in zowel de teller als de noemer, zodat deze uit de breuk kan worden geannuleerd. Dit resulteert in (5 * 4) / (2 * 1), wat gelijk is aan 10.
De binomiale stelling is een manier om de uitbreiding van een binomiale functie te berekenen, vertegenwoordigd door (a + b) ^ n - a plus b tot de nde macht; a en b kunnen bestaan uit variabelen, constanten of beide. Om de binomiale uit te breiden, is de eerste term in de uitbreiding de binomiale coëfficiënt van n en 0 keer a ^ n. De tweede term is de binomiale coëfficiënt van n en 1 keer a ^ (n-1) b. Elke volgende termijn van de expansie wordt berekend door 1 toe te voegen aan het onderste getal in de binomiale coëfficiënt, a te verhogen tot de macht van n minus dat getal, en b te verhogen tot de macht van dat getal, doorgaand totdat het onderste getal van de coëfficiënt gelijk is aan n.
Elk getal in de driehoek van Pascal is een binomiale coëfficiënt die kan worden berekend met behulp van de formule voor binomiale coëfficiënten. De driehoek begint met een 1 op het bovenste punt en elk nummer in een onderste rij kan worden berekend door de twee ingangen diagonaal erboven bij elkaar op te tellen. De driehoek van Pascal heeft verschillende unieke wiskundige eigenschappen - naast binomiale coëfficiënten bevat het ook Fibonacci-getallen en figuurgetallen.