Wat zijn binomiale coëfficiënten?
Binomiale coëfficiënten definiëren het aantal combinaties dat mogelijk is bij het kiezen van een bepaald aantal resultaten uit een set van een bepaalde grootte. Ze worden gebruikt in de binomiale stelling, die een methode is om een binomiaal uit te breiden - een polynoomfunctie die twee termen bevat. Pascal's driehoek bestaat bijvoorbeeld uitsluitend uit binomiale coëfficiënten.
Wiskundig worden binomiale coëfficiënten geschreven als twee nummers verticaal uitgelijnd in een set haakjes. Het topnummer, vertegenwoordigd door "N", is het totale aantal mogelijkheden. Gewoonlijk weergegeven door "R" of "K", het onderste nummer is het aantal ongeordende resultaten dat moet worden geselecteerd uit "n." Beide getallen zijn positief en "N" is groter dan of gelijk aan "r."
De binomiale coëfficiënt, of het aantal manieren waarop "r" kan worden gekozen uit "n", wordt berekend met behulp van fabriek. Een faculteit is een number maal het volgende kleinste nummer maal het volgende kleinste nummer, enzovoort totdat de formule er een bereikt. Het wordt vertegenwoordigd mAthematisch als n! = n (n - 1) (n - 2) ... (1). Zero Factorial is gelijk aan één.
Voor een binomiale coëfficiënt is de formule n factoriële (n!) Gededeeld door het product van (n - r)! Times r!, die meestal kan worden verminderd. Als n 5 is en R 2 is, bijvoorbeeld, is de formule 5!/(5 - 2)! 2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). In dit geval bevindt 3*2*1 zich in zowel de teller als de noemer, zodat deze uit de breuk kan worden geannuleerd. Dit resulteert in (5*4)/(2*1), wat gelijk is aan 10.
De binomiale stelling is een manier om de uitbreiding van een binomiale functie te berekenen, voorgesteld door (a + b)^n - a plus b tot de nde kracht; A en B kunnen bestaan uit variabelen, constanten of beide. Om de binomiale uit te breiden, is de eerste term in de uitbreiding de binomiale coëfficiënt van n en 0 keer a^n. De tweede term is de binomiale coëfficiënt van n en 1 keer a^(n-1) b. Elke volgende term van de uitbreiding wordt berekend door toe te voegen1 tot het onderste getal in de binomiale coëfficiënt, het verhogen van A tot het vermogen van N minus dat aantal, en B naar de kracht van dat aantal verhogen, doorgaan tot het onderste nummer van de coëfficiënt gelijk is aan n.
Elk nummer in de driehoek van Pascal is een binomiale coëfficiënt die kan worden berekend met behulp van de formule voor binomiale coëfficiënten. De driehoek begint met een 1 aan het bovenste punt, en elk nummer in een onderste rij kan worden berekend door de twee vermeldingen er diagonaal boven toe te voegen. De driehoek van Pascal heeft verschillende unieke wiskundige eigenschappen - naast binomiale coëfficiënten bevat het ook Fibonacci -getallen en figurate getallen.