二項係数とは何ですか？

二項係数は、特定のサイズのセットから特定の数の結果を選択するときに可能な組み合わせの数を定義します。それらは、二項を拡張する方法である二項定理で使用されています。これは、2つの用語を含む多項式関数です。たとえば、Pascalの三角形は、二項係数のみで構成されています。

数学的には、二項係数は、括弧のセット内で垂直に整列した2つの数値として記述されます。 「n」で表される最上位数は、可能性の総数です。通常、「r」または「k」で表される、下部数は「n」から選択される順序付けられていない結果の数です。両方の数値は正であり、「n」は「r」以上です。

二項係数、または「r」を「n」から選ぶことができる方法の数は、要因を使用して計算されます。要因は、次の最小数倍の次の最小数の数倍など、式が1つに達するまでの数倍です。それはmに表されますnのようにasemaltically！ = n（n -1）（n -2）...（1）。ゼロ要因は1に等しくなります。

二項係数の場合、式はn要因（n！）を（n -r）の積で割ったものです。通常、削減できます。 nが5、rが2の場合、たとえば、式は5！/（5-2）！2です！ =（5*4*3*2*1）/（（3*2*1）*（2*1））。この場合、3*2*1は分子と分母の両方にあるため、分数からキャンセルできます。これにより、（5*4）/（2*1）になります。

二項定理は、（a + b）^nで表される二項関数の膨張を計算する方法です。 AとBは、変数、定数、またはその両方で構成できます。二項を拡張するために、膨張の最初の項はnの二項係数と0倍a^nです。 2番目の用語は、nの二項係数と1倍a^（n-1）bです。拡張の後続の各用語は、追加することによって計算されます1両項係数の下部数に1つ、nからその数の電力にAを上げ、その数のパワーにBを上げ、係数の下部がnに等しいまで継続します。

Pascalの三角形の各数値は、二項係数の式を使用して計算できる二項係数です。三角形は上位の1から始まり、下の行の各数値は、その上に斜めに2つのエントリを追加することで計算できます。 Pascal's Triangleにはいくつかのユニークな数学的特性があります。二項係数に加えて、フィボナッチ数と数字も含まれています。