二項係数とは何ですか？

二項係数は、特定のサイズのセットから特定の数の結果を選択するときに可能な組み合わせの数を定義します。 それらは二項定理で使用されます。二項定理は、二項を拡張する方法であり、2つの項を含む多項式関数です。 たとえば、パスカルの三角形は、二項係数のみで構成されています。

数学的には、二項係数は、括弧のセット内で垂直に配置された2つの数値として書き込まれます。 「n」で表される一番上の数字は、可能性の総数です。 通常、「r」または「k」で表され、一番下の数字は「n」から選択される順序付けられていない結果の数です。 両方の数値は正であり、「n」は「r」以上です。

二項係数、または「n」から「r」を選択できる方法の数は、階乗を使用して計算されます。 階乗は、次の最小数に次の最小数を掛けたものであり、式が1に達するまで続きます。 n！として数学的に表されます。 = n（n-1）（n-2）...（1）。 ゼロ階乗は1に等しい。

二項係数の場合、式はn階乗（n！）を（n-r）！の積で除算したものです。 通常は減らすことができます。 たとえば、nが5でrが2の場合、式は5！/（5-2）！2！です。 =（5 * 4 * 3 * 2 * 1）/（（3 * 2 * 1）*（2 * 1））。 この場合、3 * 2 * 1は分子と分母の両方にあるため、小数部からキャンセルできます。 これにより、（5 * 4）/（2 * 1）になり、10になります。

二項定理は、（a + b）^ n — a plus bのn乗で表される、二項関数の展開を計算する方法です。 aとbは、変数、定数、またはその両方で構成できます。 二項式を展開する場合、展開の最初の項はnの二項係数であり、a ^ nを0倍します。 2番目の項は、nの2項係数とa ^（n-1）bの1倍です。 展開の後続の各項は、2項係数の底数に1を加算し、aのn乗からその数を引いて、bをその数の累乗に上げることによって計算され、係数の底数が等しくなるまで続きますn。

パスカルの三角形の各数値は、二項係数の式を使用して計算できる二項係数です。 三角形は最上部の1から始まり、下の行の各数値は、対角線上の2つのエントリを加算することで計算できます。 パスカルの三角形には、二項係数に加えて、フィボナッチ数とフィギュレート数が含まれるいくつかのユニークな数学的特性があります。