¿Qué es una forma canónica?

Casi todos los objetos matemáticos se pueden expresar de múltiples maneras. Por ejemplo, la fracción 2/6 es equivalente a 5/15 y -4/-12. Una forma canónica es un esquema específico que los matemáticos usan para describir objetos de una clase dada de una manera codificada y única. Cada objeto de la clase tiene una sola representación canónica que coincide con la plantilla de la forma canónica.

Para números racionales, la forma canónica es a / b , donde a y b no tiene factores comunes y b es positivo. Tal fracción generalmente se describe como "en términos más bajos". Cuando se pone en forma canónica, 2/6 se convierte en 1/3. Si dos fracciones son iguales en valor, sus representaciones canónicas son idénticas.

Las formas canónicas no siempre son la forma más común de denotar un objeto matemático. Las ecuaciones lineales bidimensionales tienen la forma canónica ax + por + c = 0, donde c es 1 o 0. Sin embargo, los matemáticos a menudo emplean la pendiente-InteForma Rcept - y = mx + b - al hacer cálculos básicos. La forma de la pendiente-intersección no es canónica; No se puede usar para describir la línea x = 4.

Los matemáticos encuentran formas canónicas particularmente útiles al analizar sistemas abstractos, en los que dos objetos pueden parecer marcadamente diferentes pero son matemáticamente equivalentes. El conjunto de todas las rutas cerradas en una rosquilla tiene la misma estructura matemática que el conjunto de todos los pares ordenados ( a , b ) de enteros. Un matemático puede ver esta conexión fácilmente si usa formas canónicas para describir ambos conjuntos. Los dos conjuntos tienen la misma representación canónica, por lo que son equivalentes. Para responder una pregunta topológica sobre las curvas en una dona, un matemático puede encontrar más fácil responder una pregunta algebraica equivalente sobre pares de enteros ordenados.

Muchos campos de estudio emplean maTrenes para describir los sistemas. Una matriz se define por sus entradas individuales, pero esas entradas con frecuencia no transmiten el carácter de la matriz. Las formas canónicas ayudan a los matemáticos a saber cuándo dos matrices están relacionadas de alguna manera que de otra manera no podrían ser obvias.

Las álgebras booleanas, la estructura que usan los lógicos al describir proposiciones, tienen dos formas canónicas: forma normal disyuntiva y forma normal conjuntiva. Estos son algebraicamente equivalentes al factoring o expansión de polinomios respectivamente. Un breve ejemplo ilustra esta conexión.

El director de una escuela secundaria podría decir: "El equipo de fútbol debe ganar uno de sus dos primeros juegos y vencer a nuestros rivales, los Hornets, en su tercer juego, o el entrenador será despedido". Esta afirmación se puede escribir lógicamente como ( w ₁ + w ₂ ) * h + f , donde " +" es la operación lógica "o" * * "es la operación lógica" y ". La forma normal disyuntiva para estaLa expresión es W ₁ * h + w ₂ * h + f . Su forma normal conjuntiva para IS ( w ₁ + w ₂ + f ) * ( h + f ). Las tres expresiones son verdaderas en las mismas condiciones, por lo que son lógicamente equivalentes.

Los ingenieros y físicos también utilizan formas canónicas al considerar los sistemas físicos. A veces, un sistema será matemáticamente similar a otro a pesar de que no parecen nada similar. Las ecuaciones de matriz diferencial que se utilizan para modelar una podrían ser idénticas a las utilizadas para modelar la otra. Estas similitudes se hacen evidentes cuando los sistemas se funden en forma canónica, como la forma canónica observable o la forma canónica controlable.