Che cos'è una forma canonica?
Quasi tutti gli oggetti matematici possono essere espressi in più modi. Ad esempio, la frazione 2/6 è equivalente a 5/15 e -4 / -12. Una forma canonica è uno schema specifico che i matematici usano per descrivere gli oggetti di una determinata classe in un modo codificato e unico. Ogni oggetto nella classe ha una singola rappresentazione canonica corrispondente al modello della forma canonica.
Per i numeri razionali, la forma canonica è a / b , dove aeb non hanno fattori comuni e b è positivo. Una tale frazione è tipicamente descritta come "in termini più bassi". Se messo in forma canonica, 2/6 diventa 1/3. Se due frazioni hanno lo stesso valore, le loro rappresentazioni canoniche sono identiche.
Le forme canoniche non sono sempre il modo più comune di indicare un oggetto matematico. Le equazioni lineari bidimensionali hanno la forma canonica Ax + By + C = 0, dove C è 1 o 0. Tuttavia i matematici spesso usano la forma di intercettazione dell'inclinazione - y = mx + b - quando fanno calcoli di base. La forma di intercettazione del pendio non è canonica; non può essere usato per descrivere la linea x = 4.
I matematici trovano le forme canoniche particolarmente utili quando analizzano i sistemi astratti, in cui due oggetti potrebbero apparire marcatamente diversi ma matematicamente equivalenti. L'insieme di tutti i percorsi chiusi su una ciambella ha la stessa struttura matematica dell'insieme di tutte le coppie ordinate ( a , b ) di numeri interi. Un matematico può vedere facilmente questa connessione se usa forme canoniche per descrivere entrambi gli insiemi. I due set hanno la stessa rappresentazione canonica, quindi sono equivalenti. Per rispondere a una domanda topologica sulle curve di una ciambella, un matematico potrebbe trovare più semplice rispondere a una domanda algebrica equivalente sulle coppie ordinate di numeri interi.
Molti campi di studio utilizzano matrici per descrivere i sistemi. Una matrice è definita dalle sue singole voci, ma quelle voci spesso non trasmettono il carattere della matrice. Le forme canoniche aiutano i matematici a sapere quando due matrici sono correlate in qualche modo che altrimenti non potrebbe essere ovvio.
Le algebre booleane, la struttura che i logici usano per descrivere le proposizioni, hanno due forme canoniche: la forma normale disgiuntiva e la forma normale congiuntiva. Questi sono algebricamente equivalenti rispettivamente al factoring o all'espansione dei polinomi. Un breve esempio illustra questa connessione.
Il preside di una scuola superiore potrebbe dire: "La squadra di calcio deve vincere una delle sue prime due partite e battere i nostri rivali, gli Hornets, nella sua terza partita, altrimenti l'allenatore verrà licenziato". Questa affermazione può essere scritta logicamente come ( w 1 + w 2 ) * H + F , dove “+” è l'operazione logica “o” e “*” è l'operazione logica “e”. La forma normale disgiuntiva per questa espressione è w 1 * H + w 2 * H + F. La sua forma normale congiuntiva per è ( w 1 + w 2 + F ) * ( H + F ). Tutte e tre queste espressioni sono vere esattamente nelle stesse condizioni, quindi sono logicamente equivalenti.
Ingegneri e fisici fanno anche uso di forme canoniche quando considerano i sistemi fisici. A volte un sistema sarà matematicamente simile a un altro, anche se non appaiono nulla di simile. Le equazioni della matrice differenziale utilizzate per modellare una potrebbero essere identiche a quelle utilizzate per modellare l'altra. Queste somiglianze diventano evidenti quando i sistemi sono espressi in una forma canonica, come una forma canonica osservabile o una forma canonica controllabile.