O que é uma forma canônica?
Quase todos os objetos matemáticos podem ser expressos de várias maneiras. Por exemplo, a fração 2/6 é equivalente a 5/15 e -4 / -12. Uma forma canônica é um esquema específico que os matemáticos usam para descrever objetos de uma determinada classe de uma maneira codificada e única. Todo objeto da classe possui uma única representação canônica correspondente ao modelo da forma canônica.
Para números racionais, a forma canônica é a / b , onde aeb não têm fatores comuns eb é positivo. Essa fração é tipicamente descrita como "nos termos mais baixos". Quando colocados em forma canônica, 2/6 se torna 1/3. Se duas frações são iguais em valor, suas representações canônicas são idênticas.
As formas canônicas nem sempre são a maneira mais comum de denotar um objeto matemático. As equações lineares bidimensionais têm a forma canônica Ax + By + C = 0, onde C é 1 ou 0. No entanto, os matemáticos geralmente empregam a forma de interceptação de inclinação - y = mx + b - ao fazer cálculos básicos. A forma de interceptação de declive não é canônica; não pode ser usado para descrever a linha x = 4.
Os matemáticos consideram as formas canônicas particularmente úteis ao analisar sistemas abstratos, nos quais dois objetos podem parecer marcadamente diferentes, mas são matematicamente equivalentes. O conjunto de todos os caminhos fechados em uma rosquinha tem a mesma estrutura matemática do conjunto de todos os pares ordenados ( a , b ) de números inteiros. Um matemático pode ver essa conexão facilmente se ele usa formas canônicas para descrever os dois conjuntos. Os dois conjuntos têm a mesma representação canônica, portanto são equivalentes. Para responder a uma pergunta topológica sobre curvas em uma rosquinha, um matemático pode achar mais fácil responder a uma pergunta algébrica equivalente sobre pares ordenados de números inteiros.
Muitos campos de estudo empregam matrizes para descrever sistemas. Uma matriz é definida por suas entradas individuais, mas essas entradas freqüentemente não transmitem o caráter da matriz. As formas canônicas ajudam os matemáticos a saber quando duas matrizes estão relacionadas de alguma forma que podem não ser óbvias de outra forma.
As álgebras booleanas, a estrutura que os lógicos usam ao descrever proposições, têm duas formas canônicas: forma normal disjuntiva e forma normal conjuntiva. Eles são algebricamente equivalentes à fatoração ou expansão de polinômios, respectivamente. Um pequeno exemplo ilustra essa conexão.
O diretor de uma escola secundária pode dizer: "O time de futebol deve vencer um de seus dois primeiros jogos e vencer nossos rivais, o Hornets, no terceiro jogo, ou o treinador será demitido". Essa afirmação pode ser escrita logicamente como ( w 1 + w 2 ) * H + F , onde "+" é a operação lógica "ou" e "*" é a operação lógica "e". A forma normal disjuntiva para esta expressão é w 1 * H + w 2 * H + F. Sua forma conjuntiva normal para é ( w 1 + w 2 + F ) * ( H + F ). Todas essas três expressões são verdadeiras exatamente nas mesmas condições, portanto são logicamente equivalentes.
Engenheiros e físicos também fazem uso de formas canônicas ao considerar sistemas físicos. Às vezes, um sistema será matematicamente semelhante a outro, mesmo que não pareçam iguais. As equações da matriz diferencial usadas para modelar uma podem ser idênticas às usadas para modelar a outra. Essas semelhanças se tornam aparentes quando os sistemas são lançados em uma forma canônica, como a forma canônica observável ou a forma canônica controlável.