O que é uma forma canônica?

Quase todos os objetos matemáticos podem ser expressos de várias maneiras. Por exemplo, a fração 2/6 é equivalente a 5/15 e -4/-12. Uma forma canônica é um esquema específico que os matemáticos usam para descrever objetos de uma determinada classe de maneira codificada e única. Todo objeto da classe possui uma única representação canônica que corresponde ao modelo da forma canônica. Essa fração é normalmente descrita como "em termos mais baixos". Quando colocado em forma canônica, 2/6 se torna 1/3. Se duas frações são iguais em valor, suas representações canônicas são idênticas.

formas canônicas nem sempre são a maneira mais comum de denotar um objeto matemático. As equações lineares bidimensionais têm a forma canônica ax + por + c = 0, onde c é 1 ou 0. No entanto, os matemáticos geralmente empregam o inclinação-interiorRECET FORM - y = mx + b - Ao fazer cálculos básicos. A forma de interceptação de inclinação não é canônica; não pode ser usado para descrever a linha x = 4.

Os matemáticos acham as formas canônicas particularmente úteis ao analisar sistemas abstratos, nos quais dois objetos podem parecer marcadamente diferentes, mas são matematicamente equivalentes. O conjunto de todos os caminhos fechados em um donut tem a mesma estrutura matemática que o conjunto de todos os pares ordenados ( a , b ) de inteiros. Um matemático pode ver essa conexão facilmente se ele usar formas canônicas para descrever os dois conjuntos. Os dois conjuntos têm a mesma representação canônica, por isso são equivalentes. Para responder a uma pergunta topológica sobre curvas em um donut, um matemático pode achar mais fácil responder a uma pergunta algébrica equivalente sobre pares de números inteiros ordenados.

Muitos campos de estudo empregam MAtrices para descrever sistemas. Uma matriz é definida por suas entradas individuais, mas essas entradas freqüentemente não transmitem o caráter da matriz. As formas canônicas ajudam os matemáticos a saber quando duas matrizes estão relacionadas de alguma maneira que podem não ser óbvias de outra forma.

álgebras booleanas, a estrutura que os lógicos usam ao descrever proposições, têm duas formas canônicas: forma normal disjuntiva e forma normal conjuntiva. Estes são algebraicamente equivalentes à fatoração ou expansão dos polinômios, respectivamente. Um pequeno exemplo ilustra essa conexão.

O diretor de uma escola pode dizer: "O time de futebol deve vencer um dos dois primeiros jogos e vencer nossos rivais, o Hornets, em seu terceiro jogo, ou então o treinador será demitido". Esta reivindicação pode ser escrita logicamente como ( w 1 + w 2 ) * h + f , onde " +" é a operação lógica "ou" e " *" é a operação lógica "e". A forma normal disjuntiva para issoA expressão é w 1 * h + w 2 * h + f . Sua forma normal conjuntiva para IS ( w 1 + w 2 + f ) * ( h + f ). Todas as três expressões são verdadeiras nas mesmas condições, por isso são logicamente equivalentes.

Engenheiros e físicos também fazem uso de formas canônicas ao considerar sistemas físicos. Às vezes, um sistema será matematicamente semelhante a outro, embora não pareça nada parecido. As equações da matriz diferencial usadas para modelar um pode ser idêntica àquelas usadas para modelar a outra. Essas semelhanças ficam aparentes quando os sistemas são fundidos de forma canônica, como forma canônica observável ou forma canônica controlável.

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