Hvad er en kanonisk form?

Næsten alle matematiske objekter kan udtrykkes på flere måder. For eksempel er fraktionen 2/6 ækvivalent med 5/15 og -4 / -12. En kanonisk form er et specifikt skema, som matematikere bruger til at beskrive objekter fra en given klasse på en kodificeret, unik måde. Hvert objekt i klassen har en enkelt kanonisk repræsentation, der matcher skabelonen til den kanoniske form.

For rationelle tal er den kanoniske form a / b , hvor a og b ikke har nogen fælles faktorer, og b er positiv. En sådan brøkdel beskrives typisk som at være "i laveste vendinger." Når den sættes i kanonisk form, bliver 2/6 1/3. Hvis to fraktioner har samme værdi, er deres kanoniske repræsentationer identiske.

Kanoniske former er ikke altid den mest almindelige måde at betegne et matematisk objekt på. To-dimensionelle lineære ligninger har den kanoniske form Ax + By + C = 0, hvor C er enten 1 eller 0. Dog anvender matematikere ofte hældningsafskærmningsformen - y = mx + b - når man udfører basale beregninger. Hældningsafskærmningsformen er ikke kanonisk; den kan ikke bruges til at beskrive linjen x = 4.

Matematikere finder kanoniske former særlig nyttige ved analyse af abstrakte systemer, hvor to objekter kan virke markant forskellige, men er matematiske ækvivalente. Sættet af alle lukkede stier på en donut har den samme matematiske struktur som sættet af alle bestilte par ( a , b ) med heltal. En matematiker kan let se denne forbindelse, hvis han bruger kanoniske former til at beskrive begge sæt. De to sæt har den samme kanoniske repræsentation, så de er ækvivalente. For at besvare et topologisk spørgsmål om kurver på en donut kan en matematiker måske have det lettere at besvare et ækvivalent, algebraisk spørgsmål om bestilte heltal.

Mange studieretninger bruger matrixer til at beskrive systemer. En matrix defineres af dens individuelle poster, men disse poster formidler ofte ikke matrixens karakter. Kanoniske former hjælper matematikere med at vide, hvornår to matrixer er forbundet på en eller anden måde, som måske ikke er indlysende ellers.

Boolske algebras, strukturen, som logikere bruger, når de beskriver propositioner, har to kanoniske former: disjunctive normal form og conjunctive normal form. Disse er algebraisk ækvivalente med henholdsvis factoring eller udvidelse af polynomer. Et kort eksempel illustrerer denne forbindelse.

Rektoren på en gymnasium kan måske sige, ”Fodboldholdet skal vinde et af sine to første kampe og slå vores rivaler, Hornets, i det tredje spil, ellers træner træneren.” Denne påstand kan skrives logisk som ( w ₁ + w ₂ ) * H + F , hvor “+” er den logiske “eller” operation og “*” er den logiske “og” operation. Den disjunktive normale form for dette udtryk er w ₁ * H + w ₂ * H + F. Dets konjunktive normale form for er ( w ₁ + w ₂ + F ) * ( H + F ). Alle disse udtryk er sandt under nøjagtigt de samme betingelser, så de er logisk ækvivalente.

Ingeniører og fysikere bruger også kanoniske former, når de overvejer fysiske systemer. Nogle gange vil det ene system matematisk svare til det andet, selvom de ikke synes noget ens. Differentialmatrixforligningerne, der bruges til at modellere den ene, kan være identiske med dem, der blev brugt til at modellere den anden. Disse ligheder bliver tydelige, når systemerne støbes i en kanonisk form, såsom observerbar kanonisk form eller kontrollerbar kanonisk form.