Co to jest forma kanoniczna?
Prawie wszystkie obiekty matematyczne można wyrazić na wiele sposobów. Na przykład ułamek 2/6 odpowiada 5/15 i -4 / -12. Forma kanoniczna jest specyficznym schematem używanym przez matematyków do opisywania obiektów z danej klasy w skodyfikowany, unikalny sposób. Każdy obiekt w klasie ma jedną reprezentację kanoniczną pasującą do szablonu formy kanonicznej.
W przypadku liczb wymiernych postacią kanoniczną jest a / b , gdzie aib nie mają wspólnych czynników, a b jest dodatnia. Taka frakcja jest zazwyczaj opisywana jako „najniżej”. Po wprowadzeniu do postaci kanonicznej 2/6 staje się 1/3. Jeśli dwie frakcje mają równą wartość, ich kanoniczne reprezentacje są identyczne.
Formy kanoniczne nie zawsze są najczęstszym sposobem oznaczania przedmiotu matematycznego. Dwuwymiarowe równania liniowe mają postać kanoniczną Ax + By + C = 0, gdzie C wynosi 1 lub 0. Jednak matematycy często stosują formę przecięcia nachylenia - y = mx + b - podczas wykonywania podstawowych obliczeń. Forma przechwytywania nachylenia nie jest kanoniczna; nie można go użyć do opisania linii x = 4.
Matematycy uważają formy kanoniczne za szczególnie przydatne podczas analizy systemów abstrakcyjnych, w których dwa obiekty mogą wydawać się wyraźnie różne, ale są matematycznie równoważne. Zbiór wszystkich zamkniętych ścieżek na pączku ma taką samą strukturę matematyczną jak zbiór wszystkich uporządkowanych par ( a , b ) liczb całkowitych. Matematyk z łatwością dostrzeże to połączenie, jeśli użyje form kanonicznych do opisania obu zbiorów. Dwa zestawy mają tę samą kanoniczną reprezentację, więc są równoważne. Aby odpowiedzieć na pytanie topologiczne dotyczące krzywych pączka, matematyk może łatwiej odpowiedzieć na równoważne, algebraiczne pytanie o uporządkowane pary liczb całkowitych.
Wiele kierunków studiów wykorzystuje matryce do opisywania systemów. Macierz jest definiowana przez poszczególne wpisy, ale wpisy te często nie oddają charakteru macierzy. Formy kanoniczne pomagają matematykom wiedzieć, kiedy dwie macierze są powiązane w jakiś sposób, co w innym przypadku może nie być oczywiste.
Algebry boolowskie, struktura, z której logicy korzystają przy opisywaniu zdań, mają dwie kanoniczne formy: normalną formę rozłączną i normalną spójną postać. Są one algebraicznie równoważne odpowiednio faktoringowi lub rozwinięciu wielomianów. Krótki przykład ilustruje to połączenie.
Dyrektor liceum może powiedzieć: „Drużyna piłkarska musi wygrać jedną z pierwszych dwóch gier i pokonać naszych rywali, Szerszenie w trzecim meczu, bo inaczej trener zostanie zwolniony”. Twierdzenie to można napisać logicznie jako ( w 1 + w 2 ) * H + F , gdzie „+” jest logiczną operacją „lub”, a „*” jest logiczną operacją „i”. Rozłączną normalną formą tego wyrażenia jest w 1 * H + w 2 * H + F. Jego łączna postać normalna dla ( w 1 + w 2 + F ) * ( H + F ). Wszystkie trzy wyrażenia są prawdziwe w dokładnie takich samych warunkach, więc są logicznie równoważne.
Inżynierowie i fizycy również używają form kanonicznych przy rozważaniu układów fizycznych. Czasami jeden system będzie matematycznie podobny do drugiego, nawet jeśli nie będą do siebie podobne. Równania macierzy różniczkowej stosowane do modelowania jednego mogą być identyczne z równaniami używanymi do modelowania drugiego. Podobieństwa te stają się widoczne, gdy układy są odlewane w formie kanonicznej, takiej jak obserwowalna forma kanoniczna lub kontrolowana forma kanoniczna.