Co to jest forma kanoniczna?

Prawie wszystkie obiekty matematyczne można wyrażać na wiele sposobów. Na przykład frakcja 2/6 jest równoważna 5/15 i -4/-12. Forma kanoniczna jest specyficznym schematem, którego matematycy używają do opisywania obiektów z danej klasy w skodyfikowany, unikalny sposób. Każdy obiekt w klasie ma pojedynczą reprezentację kanoniczną pasującą do szablonu formy kanonicznej.

Dla liczb wymiernych, forma kanoniczna jest a / b , gdzie a i b nie ma wspólnych czynników i b jest pozytywna. Taka frakcja jest zwykle opisywana jako „w najniższym poziomie”. Po umieszczeniu w formie kanonicznej 2/6 staje się 1/3. Jeśli dwie frakcje są równe, ich kanoniczne reprezentacje są identyczne.

Formy kanoniczne nie zawsze są najczęstszym sposobem oznaczania obiektu matematycznego. Dwuwymiarowe równania liniowe mają formę kanoniczną ax + przez + c = 0, gdzie c jest 1 lub 0. Matematycy często stosują nachylenie-inte.Forma rcept - y = MX + b - podczas wykonywania podstawowych obliczeń. Forma przecięcia nachylenia nie jest kanoniczna; Nie można go użyć do opisania linii x = 4.

Matematycy uważają, że kanoniczne formy są szczególnie przydatne podczas analizy systemów abstrakcyjnych, w których dwa obiekty mogą wydawać się wyraźnie różne, ale są matematycznie równoważne. Zestaw wszystkich zamkniętych ścieżek na pączku ma taką samą strukturę matematyczną, jak zestaw wszystkich uporządkowanych par ( A , b ) liczb całkowitych. Matematyk może łatwo zobaczyć to połączenie, jeśli używa form kanonicznych do opisania obu zestawów. Oba zestawy mają tę samą reprezentację kanoniczną, więc są równoważne. Aby odpowiedzieć na pytanie topologiczne dotyczące krzywych na pączku, matematyka może łatwiej odpowiedzieć na równoważne, algebraiczne pytanie o uporządkowane pary liczb całkowitych.

Wiele dziedzin badań zatrudnia maTRICES do opisania systemów. Matryca jest zdefiniowana przez jej indywidualne wpisy, ale te wpisy często nie przekazują charakteru matrycy. Formy kanoniczne pomagają matematykom wiedzieć, kiedy dwie macierze są powiązane w jakiś sposób, co może nie być oczywiste.

Algebry boolejskie, struktura, której logicy stosują podczas opisywania zdań, mają dwie formy kanoniczne: rozłączącą się normalną formę i normalną postać. Są one algebraicznie równoważne odpowiednio faktoringu lub ekspansji wielomianów. Krótki przykład ilustruje to połączenie.

Dyrektor szkoły średniej może powiedzieć: „Drużyna piłkarska musi wygrać jeden z dwóch pierwszych meczów i pokonać naszych rywali, Hornets, w trzecim meczu, w przeciwnym razie trener zostanie zwolniony”. Twierdzenie to można zapisać logicznie jako ( w _{1 + w 2 ) * h + f , gdzie „ +” jest operacją logiczną „lub”, a „ *” jest operacją logiczną „i”. Rozłączna normalna formaWyrażenie to w 1 * H + w 2 * H + f . Jego koniunktywna normalna postać jest ( w 1 + w 2 f ) * ( h + f ). Wszystkie trzy z tych wyrażeń są prawdziwe w dokładnie tych samych warunkach, więc są logicznie równoważne.}

Inżynierowie i fizycy wykorzystują również formy kanoniczne przy rozważaniu systemów fizycznych. Czasami jeden system będzie matematycznie podobny do innego, mimo że nie wydaje się niczym podobnym. Równania macierzy różnicowej, które są używane do modelu ONE, mogą być identyczne z tymi używanymi do modelowania drugiego. Podobieństwa te stają się widoczne, gdy systemy są odrzucane w postaci kanonicznej, na przykład obserwowalna forma kanoniczna lub kontrolowana forma kanoniczna.