Was ist eine kanonische Form?
Fast alle mathematischen Objekte können auf verschiedene Arten ausgedrückt werden. Beispielsweise entspricht der Bruch 2/6 5/15 und -4 / -12. Eine kanonische Form ist ein spezifisches Schema, mit dem Mathematiker Objekte einer bestimmten Klasse auf eine codierte, eindeutige Weise beschreiben. Jedes Objekt in der Klasse hat eine einzige kanonische Darstellung, die mit der Vorlage der kanonischen Form übereinstimmt.
Für rationale Zahlen ist die kanonische Form a / b , wobei a und b keine gemeinsamen Faktoren haben und b positiv ist. Ein solcher Bruch wird typischerweise als "in niedrigsten Begriffen" beschrieben. Wenn er in kanonische Form gebracht wird, wird 2/6 zu 1/3. Wenn zwei Brüche den gleichen Wert haben, sind ihre kanonischen Darstellungen identisch.
Kanonische Formen sind nicht immer die gebräuchlichste Bezeichnung für ein mathematisches Objekt. Zweidimensionale lineare Gleichungen haben die kanonische Form Ax + By + C = 0, wobei C entweder 1 oder 0 ist. Mathematiker verwenden jedoch häufig die Steigungsschnittform - y = mx + b -, wenn sie grundlegende Berechnungen durchführen. Die Steigungsschnittform ist nicht kanonisch; es kann nicht verwendet werden, um die Linie x = 4 zu beschreiben.
Mathematiker finden kanonische Formen besonders nützlich, wenn sie abstrakte Systeme analysieren, in denen zwei Objekte deutlich unterschiedlich erscheinen, aber mathematisch gleichwertig sind. Die Menge aller geschlossenen Pfade auf einem Donut hat dieselbe mathematische Struktur wie die Menge aller geordneten Paare ( a , b ) von ganzen Zahlen. Ein Mathematiker kann diesen Zusammenhang leicht erkennen, wenn er beide Mengen mit kanonischen Formen beschreibt. Die beiden Mengen haben dieselbe kanonische Darstellung, sind also gleichwertig. Um eine topologische Frage zu Kurven auf einem Donut zu beantworten, ist es für einen Mathematiker möglicherweise einfacher, eine äquivalente, algebraische Frage zu geordneten Paaren von ganzen Zahlen zu beantworten.
In vielen Studienbereichen werden Matrizen zur Beschreibung von Systemen verwendet. Eine Matrix wird durch ihre einzelnen Einträge definiert, aber diese Einträge vermitteln häufig nicht den Charakter der Matrix. Kanonische Formen helfen Mathematikern zu wissen, wann zwei Matrizen auf eine Weise zusammenhängen, die andernfalls möglicherweise nicht offensichtlich ist.
Boolesche Algebren, die Struktur, die Logiker bei der Beschreibung von Sätzen verwenden, haben zwei kanonische Formen: disjunktive Normalform und konjunktive Normalform. Diese sind algebraisch äquivalent zum Faktorisieren bzw. Expandieren von Polynomen. Ein kurzes Beispiel veranschaulicht diesen Zusammenhang.
Der Schulleiter einer High School könnte sagen: "Die Fußballmannschaft muss eines ihrer ersten beiden Spiele gewinnen und unsere Rivalen, die Hornets, in ihrem dritten Spiel schlagen, sonst wird der Trainer entlassen." ( w 1 + w 2 ) * H + F , wobei "+" die logische "oder" -Operation und "*" die logische "und" -Operation ist. Die disjunktive Normalform für diesen Ausdruck ist w 1 · H + w 2 · H + F. Seine konjunktive Normalform für ist ( w 1 + w 2 + F ) * ( H + F ). Alle drei Ausdrücke sind unter genau den gleichen Bedingungen wahr und daher logisch äquivalent.
Ingenieure und Physiker bedienen sich bei der Betrachtung physikalischer Systeme auch kanonischer Formen. Manchmal ist ein System einem anderen mathematisch ähnlich, obwohl es nicht gleich aussieht. Die Differentialmatrixgleichungen, die zum Modellieren der einen verwendet werden, sind möglicherweise mit denen identisch, die zum Modellieren der anderen verwendet werden. Diese Ähnlichkeiten werden offensichtlich, wenn die Systeme in einer kanonischen Form gegossen werden, wie einer beobachtbaren kanonischen Form oder einer steuerbaren kanonischen Form.