Hva er en kanonisk form?

Nesten alle matematiske objekter kan uttrykkes på flere måter. For eksempel tilsvarer brøkdelen 2/6 5/15 og -4 / -12. En kanonisk form er et spesifikt skjema som matematikere bruker for å beskrive objekter fra en gitt klasse på en kodifisert, unik måte. Hvert objekt i klassen har en enkelt kanonisk representasjon som samsvarer med malen til den kanoniske formen.

For rasjonelle tall er den kanoniske formen a / b , der a og b ikke har noen vanlige faktorer og b er positiv. En slik brøkdel blir typisk beskrevet som å være "i laveste termer." Når den settes i kanonisk form, blir 2/6 1/3. Hvis to brøkdeler er like i verdi, er deres kanoniske representasjoner identiske.

Kanoniske former er ikke alltid den vanligste måten å betegne et matematisk objekt på. To-dimensjonale lineære ligninger har den kanoniske formen Ax + By + C = 0, der C er enten 1 eller 0. Likevel benytter matematikere ofte hellingsskjæringsformen - y = mx + b - når du gjør grunnleggende beregninger. Helling-avskjæringsformen er ikke kanonisk; den kan ikke brukes til å beskrive linjen x = 4.

Matematikere synes kanoniske former er spesielt nyttige når de analyserer abstrakte systemer, der to objekter kan virke markant forskjellige, men er matematisk likeverdige. Settet med alle lukkede stier på en smultring har den samme matematiske strukturen som settet for alle bestilte par ( a , b ) med heltal. En matematiker kan se denne forbindelsen lett hvis han bruker kanoniske former for å beskrive begge settene. De to settene har den samme kanoniske representasjonen, så de er likeverdige. For å svare på et topologisk spørsmål om kurver på en smultring, kan en matematiker synes det er lettere å svare på et likeverdig, algebraisk spørsmål om bestilte heltal.

Mange studieretninger bruker matriser for å beskrive systemer. En matrise er definert av dens individuelle oppføringer, men disse oppføringene formidler ofte ikke karakteren til matrisen. Kanoniske former hjelper matematikere å vite når to matriser er relatert på en eller annen måte som kanskje ikke er åpenbare ellers.

Boolske algebras, strukturen som logikere bruker når de beskriver proposisjoner, har to kanoniske former: disjunktiv normalform og konjunktiv normalform. Disse er algebraisk likeverdige med faktorering eller utvidelse av henholdsvis polynomer. Et kort eksempel illustrerer denne sammenhengen.

Rektoren på en videregående skole kan si, "Fotballaget må vinne en av sine to første kamper og slå våre rivaler, Hornets, i det tredje spillet, ellers blir treneren sparken." Denne påstanden kan skrives logisk som ( w ₁ + w ₂ ) * H + F , der “+” er den logiske “eller” operasjonen og “*” er den logiske “og” operasjonen. Den disjunktive normale formen for dette uttrykket er w ₁ * H + w ₂ * H + F. Den konjunktive normale formen for er ( w ₁ + w ₂ + F ) * ( H + F ). Alle disse uttrykkene er sanne under nøyaktig de samme forholdene, så de er logisk likeverdige.

Ingeniører og fysikere benytter seg av kanoniske former når de vurderer fysiske systemer. Noen ganger vil ett system være matematisk likt et annet, selv om de ikke virker noe likt. Differensialmatriksligningene som brukes til å modellere den ene, kan være identiske med de som ble brukt til å modellere den andre. Disse likhetene blir tydelige når systemene støpes i kanonisk form, så som observerbar kanonisk form eller kontrollerbar kanonisk form.