正規形とは何ですか？
ほとんどすべての数学オブジェクトは、複数の方法で表現できます。 たとえば、2/6の小数部は5/15および-4 / -12に相当します。 正規形式とは、特定のクラスのオブジェクトを成文化された一意の方法で記述するために数学者が使用する特定のスキーマです。 クラス内のすべてのオブジェクトには、標準形式のテンプレートに一致する単一の標準表現があります。
有理数の場合、正準形はa / bです 。ここで 、 aとbには共通因子がなく、 bは正です。 そのような分数は、通常、「最低条件」であると説明されます。標準形式にすると、2/6は1/3になります。 2つの分数の値が等しい場合、それらの標準表現は同一です。
カノニカル形式は、数学オブジェクトを表す最も一般的な方法とは限りません。 2次元線形方程式の標準形式はAx + By + C = 0です（ Cは1または0のいずれかです）。しかし、数学者は基本的な計算を行う際に、傾き切片形式（ y = mx + b）をしばしば使用します。 勾配切片形式は正規ではありません。 行x = 4の記述には使用できません。
数学者は、2つのオブジェクトが著しく異なるように見えるかもしれないが数学的には同等である抽象的なシステムを分析するときに、特に便利な形式を見つけます。 ドーナツ上のすべての閉じたパスのセットは、整数のすべての順序付きペア（ a 、 b ）のセットと同じ数学的構造を持っています。 数学者は、標準形式を使用して両方のセットを記述する場合、この接続を簡単に確認できます。 2つのセットは同じ正規表現を持っているため、同等です。 ドーナツの曲線に関するトポロジカルな質問に答えるために、数学者は整数の順序付けられたペアに関する同等の代数的質問に答える方が簡単だと感じるかもしれません。
多くの研究分野では、マトリックスを使用してシステムを記述しています。 マトリックスは個々のエントリによって定義されますが、これらのエントリは多くの場合、マトリックスの特性を伝えません。 正準形は、数学者が2つの行列が何らかの形で関係していることを知るのに役立ちます。
論理代数が命題を記述するときに使用する構造であるブール代数には、選言標準形と接続標準形の2つの正準形があります。 これらは、それぞれ多項式の因数分解または展開と代数的に等価です。 この接続を簡単な例で示します。
高校の校長は、「サッカーチームは最初の2試合のうち1試合で勝利し、3試合目でライバルであるホーネットを倒さなければ、コーチが解雇される」と言うかもしれません。 （ w 1 + w 2 ）* H + F。ここで、「+」は論理「or」演算であり、「*」は論理「and」演算です。 この式の選言標準形はw 1 * H + w 2 * H + Fです。 の接続標準形は（ w 1 + w 2 + F ）*（ H + F ）です。 これら3つの式はすべて、まったく同じ条件下で真であるため、論理的に同等です。
エンジニアおよび物理学者は、物理システムを検討する際に標準形式も使用します。 あるシステムは、似ていないように見えても、数学的に別のシステムに似ていることがあります。 一方をモデル化するために使用される微分行列方程式は、他方をモデル化するために使用される方程式と同一である場合があります。 これらの類似性は、観察可能な正準形または制御可能な正準形などの正準形でシステムがキャストされるときに明らかになります。