Vad är en kanonisk form?
Nästan alla matematiska objekt kan uttryckas på flera sätt. Till exempel motsvarar fraktionen 2/6 5/15 och -4/-12. En kanonisk form är ett specifikt schema som matematiker använder för att beskriva objekt från en given klass på ett kodifierat, unikt sätt. Varje objekt i klassen har en enda kanonisk representation som matchar mallen för den kanoniska formen.
För rationella nummer är den kanoniska formen a / B , där a och b inte har några vanliga faktorer och b är positiva. En sådan bråk beskrivs vanligtvis som "i lägsta termer." När den läggs i kanonisk form blir 2/6 1/3. Om två fraktioner är lika i värde är deras kanoniska representationer identiska.
kanoniska former är inte alltid det vanligaste sättet att beteckna ett matematiskt objekt. Två-dimensionella linjära ekvationer har den kanoniska formen Ax + av + c = 0, där c är antingen 1 eller 0. Men matematiker använder ofta sluttning-inteRepT -form - y = mx + b - när du gör grundläggande beräkningar. Formen för lutningsavtal är inte kanonisk; Det kan inte användas för att beskriva linjen x = 4.
matematiker tycker att kanoniska former är särskilt användbara vid analys av abstrakta system, där två objekt kan tyckas markant olika men är matematiskt likvärdiga. Uppsättningen av alla stängda vägar på en munk har samma matematiska struktur som uppsättningen av alla ordnade par ( a , b ) av heltal. En matematiker kan enkelt se denna anslutning om han använder kanoniska former för att beskriva båda uppsättningarna. De två uppsättningarna har samma kanoniska representation, så de är likvärdiga. För att svara på en topologisk fråga om kurvor på en munk kan en matematiker ha det lättare att svara på en motsvarande, algebraisk fråga om ordnade par med heltal.
Många studiefält sysselsätter MAtrices för att beskriva system. En matris definieras av dess enskilda poster, men dessa poster förmedlar ofta inte matrisens karaktär. Kanoniska former hjälper matematiker att veta när två matriser är relaterade på något sätt som kanske inte är uppenbart på annat sätt.
booleska algebror, strukturen som logiker använder när de beskriver förslag, har två kanoniska former: disjunktiv normal form och konjunktiv normal form. Dessa är algebraiskt ekvivalent med factoring eller expansion av polynom. Ett kort exempel illustrerar denna anslutning.
Rektor på en gymnasium kan säga, "Fotbollslaget måste vinna en av sina två första matcher och slå våra rivaler, Hornets, i sitt tredje match, annars kommer tränaren att bli avskedad." Detta påstående kan skrivas logiskt som ( w 1 + w 2 ) * h + f , där " +" är den logiska "eller" operationen och " *" är den logiska "och" operationen. Den disjunktiva normala formen för dettaUttrycket är w 1 * h + w 2 * h + f . Dess konjunktiva normala form för IS ( w 1 + w 2 + f ) * ( h + f ). Alla dessa tre uttryck är sanna under exakt samma förhållanden, så de är logiskt likvärdiga.
ingenjörer och fysiker använder sig också av kanoniska former när de överväger fysiska system. Ibland kommer ett system att matematiskt liknar ett annat även om de inte verkar något lika. De differentiella matrisekvationerna som används för att modellera en kan vara identiska med de som används för att modellera den andra. Dessa likheter blir uppenbara när systemen kastas i en kanonisk form, såsom observerbar kanonisk form eller kontrollerbar kanonisk form.