Vad är en kanonisk form?
Nästan alla matematiska objekt kan uttryckas på flera sätt. Till exempel är fraktionen 2/6 ekvivalent med 5/15 och -4 / -12. En kanonisk form är ett specifikt schema som matematiker använder för att beskriva föremål från en given klass på ett kodifierat, unikt sätt. Varje objekt i klassen har en enda kanonisk representation som matchar mallen för den kanoniska formen.
För rationella siffror är den kanoniska formen a / b , där a och b inte har några vanliga faktorer och b är positiv. En sådan bråkdel beskrivs vanligtvis som ”i lägsta termer.” När den placeras i kanonisk form blir 2/6 1/3. Om två fraktioner är lika i värde är deras kanoniska representationer identiska.
Kanoniska former är inte alltid det vanligaste sättet att beteckna ett matematiskt objekt. Två-dimensionella linjära ekvationer har den kanoniska formen Ax + By + C = 0, där C är antingen 1 eller 0. Ändå använder matematiker ofta sluttningsformen - y = mx + b - när man gör grundläggande beräkningar. Lutningen-avlyssningsformen är inte kanonisk; den kan inte användas för att beskriva raden x = 4.
Matematiker tycker att kanoniska former är särskilt användbara vid analys av abstrakta system, där två objekt kan verka markant olika men är matematiskt likvärdiga. Uppsättningen av alla stängda banor på en munk har samma matematiska struktur som uppsättningen för alla ordnade par ( a , b ) med heltal. En matematiker kan lätt se denna anslutning om han använder kanoniska former för att beskriva båda uppsättningarna. De två uppsättningarna har samma kanoniska representation, så de är likvärdiga. För att besvara en topologisk fråga om kurvor på en munk kan en matematiker ha lättare att besvara en ekvivalent, algebraisk fråga om ordnade heltal.
Många studierektorer använder matriser för att beskriva system. En matris definieras av dess enskilda poster, men dessa poster förmedlar ofta inte matrisens karaktär. Kanoniska former hjälper matematiker att veta när två matriser är relaterade på något sätt som kanske inte är uppenbart annars.
Booleska algebror, strukturen som logiker använder när de beskriver förslag, har två kanoniska former: disjunktiv normalform och konjunktiv normalform. Dessa är algebraiskt likvärdiga med faktoreringen eller utvidgningen av polynomer. Ett kort exempel illustrerar denna anslutning.
Rektor på en gymnasium kan säga, "Fotbollslaget måste vinna en av sina två första matcher och slå våra rivaler, Hornets, i sitt tredje spel, annars kommer tränaren att avfyras." Detta påstående kan skrivas logiskt som ( w 1 + w 2 ) * H + F , där "+" är den logiska "eller" operationen och "*" är den logiska "och" operationen. Den disjunktiva normala formen för detta uttryck är w 1 * H + w 2 * H + F. Dess konjunktiva normala form för är ( w 1 + w 2 + F ) * ( H + F ). Alla dessa tre uttryck är sanna under exakt samma förhållanden, så de är logiskt likvärdiga.
Ingenjörer och fysiker använder också kanoniska former när man överväger fysiska system. Ibland kommer ett system att matematiskt likna ett annat trots att de inte verkar lika. Differentialmatrisekvationerna som används för att modellera en kan vara identiska med dem som används för att modellera den andra. Dessa likheter blir uppenbara när systemen gjuts i en kanonisk form, såsom observerbar kanonisk form eller kontrollerbar kanonisk form.