Wat is een Canonieke vorm?
Bijna alle wiskundige objecten kunnen op meerdere manieren worden uitgedrukt. De fractie 2/6 is bijvoorbeeld equivalent aan 5/15 en -4 / -12. Een canonieke vorm is een specifiek schema dat wiskundigen gebruiken om objecten uit een bepaalde klasse op een gecodificeerde, unieke manier te beschrijven. Elk object in de klasse heeft een enkele canonieke weergave die overeenkomt met de sjabloon van de canonieke vorm.
Voor rationale getallen is de canonieke vorm a / b , waarbij a en b geen gemeenschappelijke factoren hebben en b positief is. Een dergelijke fractie wordt meestal beschreven als 'in de laagste termen'. Wanneer het in een canonieke vorm wordt geplaatst, wordt 2/6 1/3. Als twee fracties in waarde gelijk zijn, zijn hun canonieke representaties identiek.
Canonieke vormen zijn niet altijd de meest gebruikelijke manier om een wiskundig object aan te duiden. Tweedimensionale lineaire vergelijkingen hebben de canonieke vorm Ax + By + C = 0, waarbij C 1 of 0 is. Toch gebruiken wiskundigen vaak de helling-onderscheppingsvorm - y = mx + b - bij het uitvoeren van basisberekeningen. De helling-onderscheppingsvorm is niet canoniek; het kan niet worden gebruikt om de lijn x = 4 te beschrijven.
Wiskundigen vinden canonieke vormen bijzonder nuttig bij het analyseren van abstracte systemen, waarin twee objecten sterk verschillend lijken, maar wiskundig gelijkwaardig zijn. De verzameling van alle gesloten paden op een donut heeft dezelfde wiskundige structuur als de verzameling van alle geordende paren ( a , b ) van gehele getallen. Een wiskundige kan dit verband gemakkelijk zien als hij canonieke vormen gebruikt om beide sets te beschrijven. De twee sets hebben dezelfde canonieke weergave, dus ze zijn equivalent. Om een topologische vraag over krommen op een donut te beantwoorden, kan een wiskundige het gemakkelijker vinden om een gelijkwaardige, algebraïsche vraag over geordende paren van gehele getallen te beantwoorden.
Veel vakgebieden maken gebruik van matrices om systemen te beschrijven. Een matrix wordt gedefinieerd door zijn afzonderlijke items, maar die items geven vaak niet het karakter van de matrix weer. Canonieke vormen helpen wiskundigen om te weten wanneer twee matrices op een of andere manier aan elkaar gerelateerd zijn, anders is dat niet vanzelfsprekend.
Booleaanse algebra's, de structuur die logici gebruiken bij het beschrijven van stellingen, hebben twee canonieke vormen: disjunctieve normale vorm en conjunctieve normale vorm. Deze zijn algebraïsch equivalent aan respectievelijk de factoring of uitbreiding van polynomen. Een kort voorbeeld illustreert deze connectie.
De directeur van een middelbare school zou kunnen zeggen: "Het voetbalteam moet een van de eerste twee wedstrijden winnen en onze rivalen, de Hornets, verslaan in de derde wedstrijd, anders wordt de coach ontslagen." Deze claim kan logisch worden geschreven als ( w 1 + w 2 ) * H + F , waarbij "+" de logische "of" -bewerking is en "*" de logische "en" -bewerking is. De disjunctieve normale vorm voor deze uitdrukking is w 1 * H + w 2 * H + F. De conjunctieve normale vorm voor is ( w 1 + w 2 + F ) * ( H + F ). Alle drie deze uitdrukkingen zijn waar onder exact dezelfde omstandigheden, dus ze zijn logisch equivalent.
Ingenieurs en fysici maken ook gebruik van canonieke vormen bij het overwegen van fysieke systemen. Soms is het ene systeem wiskundig vergelijkbaar met het andere, ook al lijken ze niet op elkaar. De differentiaalmatrixvergelijkingen die worden gebruikt om de ene te modelleren, kunnen identiek zijn aan die gebruikt om de andere te modelleren. Deze overeenkomsten worden duidelijk wanneer de systemen in een canonieke vorm worden gegoten, zoals een waarneembare canonieke vorm of een bestuurbare canonieke vorm.