Co je to kanonický formulář?
Téměř všechny matematické objekty lze vyjádřit několika způsoby. Například zlomek 2/6 odpovídá 5/15 a -4 / -12. Kanonická forma je specifické schéma, které matematici používají k popisu objektů z dané třídy kodifikovaným a jedinečným způsobem. Každý objekt ve třídě má jednu kanonickou reprezentaci odpovídající šabloně kanonického formuláře.
Pro racionální čísla je kanonická forma a / b , kde aab nemají společné faktory a b je pozitivní. Takový zlomek je obvykle popisován jako „v nejnižších termínech“. Když je uveden do kanonického tvaru, 2/6 se změní na 1/3. Pokud jsou dvě zlomky stejné hodnoty, jejich kanonické reprezentace jsou identické.
Kanonické formy nejsou vždy nejběžnějším způsobem označení matematického objektu. Dvourozměrné lineární rovnice mají kanonický tvar Ax + By + C = 0, kde C je buď 1 nebo 0. Přesto matematici často používají základní výpočet - y = mx + b - při provádění základních výpočtů. Forma svahu-zachycení není kanonická; nelze jej použít k popisu řádku x = 4.
Matematici považují kanonické formy za zvláště užitečné při analýze abstraktních systémů, ve kterých se dva objekty mohou zdát výrazně odlišné, ale jsou matematicky ekvivalentní. Sada všech uzavřených cest na koblihu má stejnou matematickou strukturu jako sada všech uspořádaných dvojic ( a , b ) celých čísel. Matematik toto spojení snadno vidí, pokud k popisu obou sad použije kanonické formy. Tyto dvě sady mají stejné kanonické znázornění, takže jsou ekvivalentní. Pro zodpovězení topologické otázky o křivkách koblihy by matematik mohl najít snazší odpověď na ekvivalentní algebraickou otázku o uspořádaných párech celých čísel.
Mnoho oborů používá matice k popisu systémů. Matice je definována svými jednotlivými položkami, ale tyto položky často nevyjadřují charakter matice. Kanonické formy pomáhají matematikům vědět, kdy jsou dvě matice spojeny nějakým způsobem, který by jinak nebyl zřejmý.
Booleovské algebry, struktura, kterou logici používají při popisu návrhů, mají dvě kanonické podoby: disjunktivní normální formu a konjunktivní normální formu. Tito jsou algebraicky ekvivalentní k faktoringu nebo expanzi polynomů příslušně. Toto spojení ilustruje krátký příklad.
Ředitel střední školy může říci: „Fotbalový tým musí vyhrát jednu ze svých prvních dvou her a porazit naše soupeře, sršně, ve své třetí hře, jinak bude trenér propuštěn.“ Tento požadavek lze logicky napsat jako ( w 1 + w 2 ) * H + F , kde „+“ je logická operace „nebo“ a „*“ je logická operace „a“. Disjunktivní normální forma pro tuto expresi je w 1 * H + w 2 * H + F. Jeho konjunktivní normální forma je ( w 1 + w 2 + F ) * ( H + F ). Všechny tři tyto výrazy jsou pravdivé za přesně stejných podmínek, takže jsou logicky ekvivalentní.
Inženýři a fyzici také používají kanonické formy, když uvažují o fyzických systémech. Někdy bude jeden systém matematicky podobný druhému, i když se nezdají nic podobného. Rovnice diferenciální matice, které se používají k modelování jedné, mohou být totožné s rovnicemi používanými pro modelování druhé. Tyto podobnosti se projeví, když jsou systémy obsazeny v kanonické podobě, jako je pozorovatelná kanonická forma nebo kontrolovatelná kanonická forma.