Co je kanonická forma?
Téměř všechny matematické objekty lze vyjádřit několika způsoby. Například zlomek 2/6 je ekvivalentní 5/15 a -4/-12. Kanonická forma je specifické schéma, které matematici používají k popisu objektů z dané třídy kodifikovaným, jedinečným způsobem. Každý objekt ve třídě má jedinou kanonickou reprezentaci odpovídající šabloně kanonické formy.
Pro racionální čísla, kanonická forma je a / b , kde a a b je pozitivní. Taková zlomek je obvykle popisován jako „nejnižší“. Při vložení do kanonické formy se 2/6 stane 1/3. Pokud jsou dvě zlomky stejné hodnoty, jejich kanonické reprezentace jsou identické. Dvourozměrné lineární rovnice mají kanonickou formu ax + od + c = 0, kde c je buď 1 nebo.Form Rcep - y = mx + b - při provádění základních výpočtů. Forma zasažení svahu není kanonická; Nelze jej použít k popisu linky x = 4.
Matematici považují kanonické formy obzvláště užitečné při analýze abstraktních systémů, ve kterých by se dva objekty mohly zdát výrazně odlišné, ale jsou matematicky ekvivalentní. Sada všech uzavřených cest na koblihu má stejnou matematickou strukturu jako sada všech uspořádaných párů ( a , b ) cent čísel. Matematik může toto spojení snadno vidět, pokud používá kanonické formy k popisu obou sad. Obě sady mají stejnou kanonickou reprezentaci, takže jsou ekvivalentní. Abychom odpověděli na topologickou otázku o křivkách na koblihu, může být pro matematik snazší odpovědět na ekvivalentní algebraickou otázku o uspořádaných párech celých čísel.
Mnoho studijních polí zaměstnává MATrices k popisu systémů. Matice je definována jejími jednotlivými položkami, ale ty položky často nepředávají charakter matice. Kanonické formy pomáhají matematikům vědět, kdy dvě matice jsou nějakým způsobem spojeny, což nemusí být zřejmé jinak.
Booleovské algebry, struktura, kterou logici používají při popisu návrhů, mají dvě kanonické formy: disjunktivní normální forma a konjunktivní normální forma. Jedná se o algebraicky ekvivalentní faktoringu nebo expanzi polynomů. Krátký příklad ilustruje toto spojení.
Ředitel střední školy by mohl říci: „Fotbalový tým musí vyhrát jednu ze svých prvních dvou her a porazit naše soupeře, Hornets, ve své třetí hře, jinak bude trenér propuštěn.“ Toto tvrzení lze logicky psát jako ( w 1 + w 2 ) * h + f , kde „ +“ je logická „nebo“ operace a „ *“ je logická „a“ operace. Disjunktivní normální formaExprese je w 1 * h + w 2 * h + f . Jeho konjunktivní normální forma pro ( w 1 + w 2 + f ) * ( h + f ). Všechny tři z těchto výrazů jsou pravdivé za přesně stejných podmínek, takže jsou logicky ekvivalentní.
Inženýři a fyziku také využívají kanonické formy při zvažování fyzických systémů. Někdy bude jeden systém matematicky podobný jinému, i když se neobjeví nic podobného. Diferenciální maticové rovnice, které se používají k modelování jednoho, by mohly být totožné s rovny používanými k modelování druhého. Tyto podobnosti se projeví, když jsou systémy obsazeny v kanonické formě, jako je pozorovatelná kanonická forma nebo kontrolovatelná kanonická forma.