Qu'est-ce qu'une forme canonique?
Presque tous les objets mathématiques peuvent être exprimés de plusieurs manières. Par exemple, la fraction 2/6 équivaut à 5/15 et -4 / -12. Une forme canonique est un schéma spécifique que les mathématiciens utilisent pour décrire les objets d'une classe donnée de manière unique et codifiée. Chaque objet de la classe a une seule représentation canonique correspondant au modèle de la forme canonique.
Pour les nombres rationnels, la forme canonique est a / b , où a et b n'ont pas de facteurs communs et b est positif. Une telle fraction est généralement décrite comme étant «au plus bas». Lorsqu'il est mis sous forme canonique, 2/6 devient 1/3. Si deux fractions sont égales en valeur, leurs représentations canoniques sont identiques.
Les formes canoniques ne sont pas toujours le moyen le plus courant de désigner un objet mathématique. Les équations linéaires à deux dimensions ont la forme canonique Ax + By + C = 0, où C est 1 ou 0. Pourtant, les mathématiciens utilisent souvent la forme d'interception de pente - y = mx + b - pour effectuer des calculs de base. La forme d'interception de pente n'est pas canonique; il ne peut pas être utilisé pour décrire la ligne x = 4.
Les mathématiciens trouvent les formes canoniques particulièrement utiles lors de l'analyse de systèmes abstraits, dans lesquels deux objets peuvent sembler nettement différents mais sont mathématiquement équivalents. L'ensemble des chemins fermés sur un beignet a la même structure mathématique que l'ensemble des paires ordonnées ( a , b ) d'entiers. Un mathématicien peut facilement voir cette connexion s’il utilise des formes canoniques pour décrire les deux ensembles. Les deux ensembles ont la même représentation canonique, ils sont donc équivalents. Pour répondre à une question topologique sur les courbes sur un beignet, un mathématicien pourrait trouver plus facile de répondre à une question algébrique équivalente sur des paires ordonnées d'entiers.
Beaucoup de domaines d'études utilisent des matrices pour décrire les systèmes. Une matrice est définie par ses entrées individuelles, mais ces entrées ne communiquent souvent pas le caractère de la matrice. Les formes canoniques aident les mathématiciens à savoir quand deux matrices sont reliées d'une manière qui pourrait ne pas être évidente autrement.
Les algèbres booléennes, structure utilisée par les logiciens pour décrire des propositions, ont deux formes canoniques: la forme normale disjonctive et la forme normale conjonctive. Celles-ci sont équivalentes algébriquement à la factorisation ou à l'expansion des polynômes, respectivement. Un court exemple illustre cette connexion.
Le directeur d’un lycée pourrait dire: «L’équipe de football doit remporter l’un de ses deux premiers matches et vaincre nos rivaux, les Hornets, lors de son troisième match, sans quoi l’entraîneur sera limogé». ( w 1 + w 2 ) * H + F , où “+” est l'opération logique “ou” et “*” est l'opération logique “et”. La forme normale disjonctive pour cette expression est w 1 * H + w 2 * H + F. Sa forme normale conjonctive pour est ( w 1 + w 2 + F ) * ( H + F ). Ces trois expressions sont vraies dans exactement les mêmes conditions et sont donc logiquement équivalentes.
Les ingénieurs et les physiciens utilisent également des formes canoniques lorsqu'ils envisagent des systèmes physiques. Parfois, un système sera mathématiquement similaire à un autre même s’ils ne ressemblent en rien. Les équations matricielles différentielles utilisées pour modéliser l’une pourraient être identiques à celles utilisées pour modéliser l’autre. Ces similitudes deviennent évidentes lorsque les systèmes sont exprimés sous une forme canonique, telle qu'une forme canonique observable ou une forme canonique contrôlable.