¿Qué es un coset?

Un coset es un tipo específico de subconjunto de un grupo matemático. Por ejemplo, uno podría considerar el conjunto de todos los múltiplos integrales de 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, que se puede denotar como 7 z . Agregar 3 a cada número genera el conjunto {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, que los matemáticos describen como 7 z + 3. Este último conjunto se llama coset de 7 z generado por 3.

Hay dos propiedades importantes de 7 z . Si un número es un múltiplo de 7, también lo es su inverso aditivo. El inverso aditivo de 7 es -7, el inverso aditivo de 14 es -14, y así sucesivamente. Además, agregar un múltiplo de 7 a otro múltiplo de 7 produce un múltiplo de 7. Los matemáticos describen esto diciendo que los múltiplos de 7 están "cerrados" bajo la operación de suma.

Estas dos características son por qué 7 z se llama subgrupo de los enteros bajo suma. Solo los subgrupos tienen cosets. El conjunto de todos los números cúbicos, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, no tiene cosets de la misma manera que 7 z porque no está cerrado bajo la adición: 1 + 8 = 9 y 9 no es un número cúbico. Del mismo modo, el conjunto de todos los números incluso positivos, {2, 4, 6, ...}, no tiene cosets porque no contiene inversos.

La razón de estas estipulaciones es que cada número debe estar exactamente en una coset. En el caso de {2, 4, 6, ...}, 6 está en el coset generado por 4 y está en el coset generado por 2, pero esas dos cosetas no son idénticas. Estos dos criterios son suficientes para garantizar que cada elemento esté exactamente en una coset.

cosets existen en cualquier grupo, y algunos grupos son mucho más complicados que los enteros. Un grupo útil que uno podría considerar es el conjunto de todas las formas de mover un cuadrado sin cambiar la región que cubre. Si se gira un cuadrado 90 grados, no hay un cambio aparente en la forma. Del mismo modo, se puede voltearPED verticalmente, horizontalmente o a través de cualquiera de las diagonales sin cambiar la región de las cubiertas cuadradas. Los matemáticos llaman a este grupo d ₄ .

d ₄ tiene ocho elementos. Dos elementos se consideran idénticos si dejan todas las esquinas en el mismo lugar, por lo que girar el cuadrado en el sentido de las agujas del reloj cuatro veces es lo mismo que no hacer nada. Con esto en mente, los ocho elementos se pueden denotar e, R, R 2 , R 3 , V, H, D D , y D _d . El " e " se refiere a no hacer nada, y " r 2 " denota hacer dos rotaciones. Cada uno de los últimos cuatro elementos se refiere a voltear el cuadrado: verticalmente, horizontalmente o a lo largo de sus diagonales de abatimiento hacia arriba o hacia abajo.

Los enteros son un grupo abeliano, lo que significa que su operación satisface la ley conmutativa: 3 + 2 = 2 + 3. d ₄ no es abeliano. Girar un cuadrado y luego voltearlo horizontalmente no hacet mueva las esquinas de la misma manera que voltearlo y luego girarlo.

Cuando trabajan en grupos no comunicados, los matemáticos generalmente usan A * para describir la operación. Un pequeño trabajo muestra que girar el cuadrado y luego voltearlo horizontalmente, r * h , es lo mismo que voltearlo a través de su diagonal hacia abajo. Así r * h = d _d . Volteando el cuadrado y luego girando es equivalente a voltearlo a través de su diagonal ascendente, por lo tanto, r * h = d _u .

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El orden es importante en d ₄ , por lo que uno debe ser más preciso al describir los cosets. Cuando se trabaja en los enteros, la frase "la coset de 7 z generada por 3" es inequívoca porque no importa si 3 se agrega a la izquierda o a la derecha de cada múltiplo de 7. Para un subgrupo de d ₄ , sin embargo, diferentes órdenes crean diferentes cosets. Basado en los cálculos que se describen anteriormente, r * h , el CO de izquierdaconjunto de h generado por R { r, d _d } pero h * r iguales ( r, d _u }. El requisito de que ningún elemento esté en dos cosetas diferentes no se aplica cuando se compara cosetas a la izquierda a los cosetas de izquierda.

Los cosets correctos de h no coinciden con sus cosets izquierdos. No todos los subgrupos de d ₄ comparten esta propiedad. Uno puede considerar el subgrupo r de todas las rotaciones del cuadrado, r = { e, r, r 2 , r 3 }.

Un pequeño cálculo muestra que sus cosets izquierdos son los mismos que sus cosets derecho. Tal subgrupo se llama subgrupo normal. Los subgrupos normales son extremadamente importantes en el álgebra abstracta porque siempre codifican información adicional. Por ejemplo, los dos posibles cosets de r equivalen a las dos situaciones posibles "el cuadrado ha sido volteado" y "el cuadrado no se ha volteado".