コセットとは何ですか？

コセットは、数学グループの特定のタイプのサブセットです。たとえば、7、{... -14、-7、0、7、14 ...}のすべての積分倍数のセットを考慮すると、7 z として示されます。各数値に3を追加すると、セット{... -11、-4、3、10、17 ...}が生成されます。数学者は7 z + 3と表現します。数字が7の倍数の場合、その添加剤も同様です。 7の添加剤逆は-7、14の添加剤逆は-14などです。また、7の倍数を7の別の倍数に追加すると、7の倍数が得られます。数学者は、加算の操作下で7の倍数が「閉じている」と述べています。サブグループのみがコセットを持っています。すべての立方体数のセット、{... -27、-8、-1、0、1、8、27 ...}、7 z と同じ方法でコセットがありません。1 + 8 = 9、9は立方体数ではないためです。同様に、すべての正の偶数のセット、{2、4、6、...}は、逆を含んでいないためコセットがありません。

これらの規定の理由は、すべての数値が正確に1つのコセットにある必要があるためです。 {2、4、6、...}の場合、6はコセットに4で生成され、コセットに2で生成されますが、これらの2つのコセットは同一ではありません。これらの2つの基準では、各要素が正確に1つのコセットにあることを確認するのに十分です。

コセットはどのグループにも存在し、一部のグループは整数よりもはるかに複雑です。考慮する有用なグループは、カバーする領域を変更せずに広場を移動するすべての方法のセットです。正方形が90度回転している場合、形状に明らかな変化はありません。同様に、フリップにすることができます垂直、水平方向、またはどちらかの角質を介して、正方形が覆う領域を変更せずに斜めに及ぼします。数学者はこのグループを d ₄ 。

と呼びます

d ₄ には8つの要素があります。 2つの要素が同じ場所にすべての角を離れる場合、同一と見なされるため、時計回りに4回回転することは、何もしないのと同じと見なされます。これを念頭に置いて、8つの要素は、 e、r、r ² 、r ³ 、v、h、d _d 、、 d _d を示すことができます。 「 e 」は何もしないことを指し、「 r ² 」は2つの回転を行うことを示します。最後の4つの要素のそれぞれは、正方形をひっくり返すことを指します。

整数はアベルのグループであり、その操作は通勤法を満たすことを意味します：3 + 2 = 2 + 3。正方形を回転させてから水平にめくるtはひっくり返してから回転するのと同じように角を動かします。

非配信グループで作業する場合、数学者は通常、操作を説明するために *を使用します。ちょっとした作業では、正方形を回転させてから水平にひっくり返すことは、 r * h が下向きの対角線を横切るのと同じであることを示しています。したがって、 r * h = d _d 。正方形をひっくり返してから回転させることは、上向きの対角線を横切るのと同等です。

注文は d ₄ で重要です。したがって、コセットを説明するときは、より正確でなければなりません。整数で作業する場合、「3で生成された7 z のコセット」というフレーズは、7の各倍数の左または右に3が追加されるかどうかは関係ないため、 d ₄ のサブグループの場合、異なる注文が異なるコセットを作成します。前述の計算に基づいて、 r * h 、左co h のセットr- equals { r、d _d }が h * r 等しい（ r、d <> u }。

h の正しいコセットは、その左のコセットと一致しません。 d ₄ のすべてのサブグループがこのプロパティを共有するわけではありません。正方形のすべての回転のサブグループ r 、 r = { e、r、r ² 、r ³ }。

少し計算は、左のコセットが右のコセットと同じであることを示しています。このようなサブグループは、通常のサブグループと呼ばれます。抽象代数では、通常の情報を常にエンコードするため、通常のサブグループは非常に重要です。たとえば、 r の2つの可能なコセットは、「広場がひっくり返された」2つの可能な状況に等しくなり、「広場はひっくり返されていません。」

」