コセットとは
剰余類は、数学グループの特定の種類のサブセットです。 たとえば、7 {... -14、-7、0、7、14 ...}のすべての整数倍のセットを考えることができます。 各数値に3を追加すると、セット{... -11、-4、3、10、17 ...}が生成されます。数学者はこれを7 Z + 3と記述します。この後者のセットは、3によって生成された7 Zのコセットと呼ばれます。 。
7 Zには2つの重要なプロパティがあります。 数値が7の倍数である場合、その加算逆数も同様です。 7の加法逆数は-7、14の加法逆数は-14です。 また、7の倍数を別の7の倍数に追加すると、7の倍数になります。数学者は、7の倍数が加算の操作の下で「閉じた」と言います。
これら2つの特性が、7 Zが加算中の整数のサブグループと呼ばれる理由です。 サブグループのみが剰余類を持ちます。 すべての3進数のセット{... -27、-8、-1、0、1、8、27 ...}は、7 Zと同じように剰余を持ちません。これは、加算の下で閉じられないためです。 ：1 + 8 = 9、および9は3進数ではありません。 同様に、すべての正の偶数のセット{2、4、6、...}には逆行列が含まれていないため、剰余類はありません。
これらの規定の理由は、すべての数値が1つのコセットに含まれている必要があるためです。 {2、4、6、...}の場合、6は4によって生成されたコセット内にあり、2によって生成されたコセット内にありますが、これら2つのコセットは同一ではありません。 これらの2つの基準は、各要素が正確に1つのコセット内にあることを保証するのに十分です。
コセットはどのグループにも存在し、一部のグループは整数よりもはるかに複雑です。 考えられる有用なグループは、カバーする領域を変更せずに正方形を移動するすべての方法のセットです。 正方形が90度回転した場合、形状に明らかな変化はありません。 同様に、正方形がカバーする領域を変更せずに、垂直、水平、またはいずれかの対角線上で反転できます。 数学者はこのグループをD 4と呼びます。
D 4には8つの要素があります。 2つの要素がすべての角を同じ場所に置いている場合、2つの要素は同一であると見なされるため、正方形を時計回りに4回回転させることは、何もしないと同じと見なされます。 これを念頭に置いて、8つの要素はe、r、r 2 、r 3 、v、h、d d 、およびd dと表すことができます。 「 e 」は何もしないことを指し、「 r 2 」は2回転することを意味します。 最後の4つの要素はそれぞれ、正方形を反転することを指します：垂直、水平、または斜め上または斜めに沿って。
整数はアーベル群であり、その演算は可換法則3 + 2 = 2 + 3を満たします。D4はアーベル型ではありません。 正方形を回転してから水平方向に反転しても、角を反転してから回転するのと同じ方法で角を移動することはありません。
非可換グループで作業する場合、数学者は通常*を使用して操作を説明します。 少し作業をすると、正方形を回転させてから水平に反転するr * hは、下向きの対角線上で反転することと同じであることがわかります。 したがって、 r * h = d dです。 正方形をひっくり返してから回転させることは、上向きの対角線を横切ってひっくり返すことに等しいので、 r * h = d uです。
D 4では順序が重要であるため、剰余類を記述するときはより正確でなければなりません。 整数で作業する場合、「3によって生成された7 Zの剰余類」という語句は、3が7の倍数の左または右に追加されるかどうかは関係ないため、明確です。ただし、 D 4のサブグループでは、注文により異なるコセットが作成されます。 前に説明した計算に基づいて、 r * H 、rによって生成されたHの左余集合-{ r、d d }に等しいが、 H * rは（ r、d u }に等しい。2つの異なる余集合に要素がないという要件は右コセットと左コセットを比較する場合は適用されません。
Hの右余集合は、その左余集合と一致しません。 D 4のすべてのサブグループがこのプロパティを共有するわけではありません。 正方形のすべての回転のサブグループR 、 R = { e、r、r 2 、r 3 }を考慮することができます。
少し計算すると、左側のコセットが右側のコセットと同じであることがわかります。 このようなサブグループは、通常のサブグループと呼ばれます。 通常のサブグループは、追加の情報を常にエンコードするため、抽象代数では非常に重要です。 たとえば、 Rの 2つの可能なコセットは、「正方形が反転された」と「正方形が反転されていない」という2つの可能な状況に相当します。