Qu'est-ce qu'un Coset?

Un Coset est un type spécifique de sous-ensemble d'un groupe mathématique. Par exemple, on pourrait considérer l'ensemble de tous les multiples intégraux de 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, qui peut être désigné 7 z . L'ajout de 3 à chaque numéro génère l'ensemble {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, que les mathématiciens décrivent comme 7 z + 3. Ce dernier ensemble est appelé le coset de 7 z généré par 3.

Il existe deux propriétés importantes de 7 z . Si un nombre est un multiple de 7, son additif inverse est également inverse. L'additif inverse de 7 est -7, l'inverse additif de 14 est de -14, etc. De plus, l'ajout d'un multiple de 7 à un autre multiple de 7 donne un multiple de 7. Les mathématiciens décrivent cela en disant que les multiples de 7 sont «fermés» sous le fonctionnement de l'addition.

Ces deux caractéristiques sont la raison pour laquelle 7 z est appelé un sous-groupe des entiers sous ajout. Seuls les sous-groupes ont des cosets. L'ensemble de tous les nombres cubes, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, n'a pas de cachets de la même manière que 7 z car il n'est pas fermé sous ajout: 1 + 8 = 9, et 9 n'est pas un nombre cube. De même, l'ensemble de tous les nombres pair positifs, {2, 4, 6, ...}, n'a pas de cachets car il ne contient pas d'inverses.

La raison de ces stipulations est que chaque numéro doit être exactement dans un seul Coset. Dans le cas de {2, 4, 6, ...}, 6 est dans le coset généré par 4 et se trouve dans le coset généré par 2, mais ces deux cosets ne sont pas identiques. Ces deux critères suffisent pour garantir que chaque élément se trouve exactement dans un cachet.

Les cosets existent dans n'importe quel groupe, et certains groupes sont beaucoup plus compliqués que les entiers. Un groupe utile que l'on pourrait considérer est l'ensemble de toutes les façons de déplacer un carré sans changer la région qu'il couvre. Si un carré est tourné à 90 degrés, il n'y a pas de changement apparent dans la forme. De même, il peut être flipPédiquer verticalement, horizontalement ou à travers la diagonale sans changer la région les couvertures carrées. Les mathématiciens appellent ce groupe d 4 .

d 4 a huit éléments. Deux éléments sont considérés comme identiques s'ils laissent tous les coins au même endroit, donc la rotation du carré dans le sens horaire quatre fois est considérée comme la même que de ne rien faire. Dans cet esprit, les huit éléments peuvent être désignés e, r, r

2 , r

3 , v, h, d _{d ,} et d _d . Le " e " fait référence à ne rien faire, et " r

2 " dénote faire deux rotations. Chacun des quatre derniers éléments fait référence à la retournement du carré: verticalement, horizontalement ou le long de ses diagonales à la baisse vers le haut ou vers le bas.

Les entiers sont un groupe abélien, ce qui signifie que son opération satisfait la loi commutative: 3 + 2 = 2 + 3. d n'est pas abélien. Faire tourner un carré puis le retourner horizontalementt Déplacez les coins de la même manière que de le retourner puis de le faire tourner.

Lorsque vous travaillez dans des groupes non commutatifs, les mathématiciens utilisent généralement un * pour décrire l'opération. Un peu de travail montre que la rotation du carré puis la renversant horizontalement, r * h , est la même que de le retourner à travers sa diagonale vers le bas. Ainsi r * h = d _d . Retourner le carré puis la rotation est équivalent pour le retourner à travers sa diagonale ascendante, donc r * h = d _u .

L'ordre compte dans d 4 , il faut donc être plus précis lors de la description des cosets. Lorsque vous travaillez dans les entiers, l'expression «Le cachet de 7 z généré par 3» est sans ambiguïté car il n'a pas d'importance si 3 est ajouté à gauche ou à droite de chaque multiple de 7. Pour un sous-groupe de d 4 , cependant, différents ordres créeront des cisettes différentes. Sur la base des calculs décrits précédemment, r * h , le CO gaucheEnsemble de h généré par R - Equaux { R, D Les cachets droits de h ne correspondent pas à ses cachets gauche. Tous les sous-groupes de d 4 partagent cette propriété. On peut considérer le sous-groupe r de toutes les rotations du carré, r = { e, r, r

2 , r

3 }.

Un peu de calcul montre que ses cachets gauche sont les mêmes que ses cachets droits. Un tel sous-groupe est appelé sous-groupe normal. Les sous-groupes normaux sont extrêmement importants dans l'algèbre abstraite car ils codent toujours des informations supplémentaires. Par exemple, les deux cachets possibles de r équivaut aux deux situations possibles «le carré a été renversé» et «le carré n'a pas été renversé».