Qu'est-ce qu'un coset?
Un coset est un type spécifique de sous-ensemble d'un groupe mathématique. Par exemple, on peut considérer l'ensemble de tous les multiples intégraux de 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, ce qui peut être désigné par 7 Z. Ajouter 3 à chaque nombre génère l'ensemble {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, que les mathématiciens décrivent comme 7 Z + 3. Ce dernier ensemble est appelé le coset de 7 Z généré par 3 .
Il y a deux propriétés importantes de 7 Z. Si un nombre est un multiple de 7, il en va de même de son inverse additif. L'inverse additif de 7 est -7, l'inverse additif de 14 est -14, et ainsi de suite. De plus, l'ajout d'un multiple de 7 à un autre multiple de 7 donne un multiple de 7. Les mathématiciens décrivent ceci en disant que les multiples de 7 sont «fermés» lors de l'opération d'addition.
Ces deux caractéristiques expliquent pourquoi 7Z est appelé un sous-groupe des entiers en addition. Seuls les sous-groupes ont des coset. L'ensemble de tous les nombres cubiques, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, ne possède pas de coset de la même manière que 7 Z car il n'est pas fermé sous addition : 1 + 8 = 9, et 9 n'est pas un nombre cubique. De même, l'ensemble de tous les nombres pairs positifs, {2, 4, 6, ...}, ne comporte pas de coset car il ne contient pas d'inverses.
La raison de ces stipulations est que chaque nombre doit être dans exactement un coset. Dans le cas de {2, 4, 6, ...}, 6 est dans le coset généré par 4 et dans le coset généré par 2, mais ces deux coset ne sont pas identiques. Ces deux critères suffisent à garantir que chaque élément est dans exactement un coset.
Les coûts existent dans tous les groupes et certains groupes sont beaucoup plus compliqués que les entiers. Un groupe utile que l’on pourrait envisager est l’ensemble des moyens de déplacer un carré sans changer la région qu’il couvre. Si un carré est pivoté de 90 degrés, il n'y a pas de changement apparent dans la forme. De même, il peut être inversé verticalement, horizontalement ou en diagonale sans changer la zone couverte par le carré. Les mathématiciens appellent ce groupe D 4 .
D 4 a huit éléments. Deux éléments sont considérés comme identiques s’ils laissent tous les coins au même endroit. Tourner quatre fois le carré dans le sens des aiguilles d’une montre revient à ne rien faire. Dans cet esprit, les huit éléments peuvent être notés e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d et d d . Le « e » fait référence à ne rien faire, et le « r 2 » signifie faire deux rotations. Chacun des quatre derniers éléments consiste à inverser le carré: verticalement, horizontalement ou le long de ses diagonales inclinées vers le haut ou vers le bas.
Les nombres entiers sont un groupe abélien, ce qui signifie que son fonctionnement satisfait à la loi de commutation: 3 + 2 = 2 + 3. D 4 n'est pas abélien. Faire pivoter un carré puis le retourner horizontalement ne déplace pas les coins de la même manière que le retourner puis le faire pivoter.
Lorsqu'ils travaillent dans des groupes non commutatifs, les mathématiciens utilisent généralement un * pour décrire l'opération. Un petit travail montre que tourner le carré puis le retourner horizontalement, r * h , revient à le retourner sur sa diagonale descendante. Ainsi, r * h = d d . Retourner le carré puis le faire pivoter revient à le faire basculer sur sa diagonale ascendante, donc r * h = d u .
L'ordre est important en D 4 , il faut donc être plus précis pour décrire les ensembles. Lorsque vous travaillez dans les nombres entiers, la phrase «le groupe de 7 Z généré par 3» est sans équivoque, car il importe peu que 3 soit ajouté à gauche ou à droite de chaque multiple de 7. Toutefois, un sous-groupe de D 4 différent les commandes créeront des combinaisons différentes. D'après les calculs décrits précédemment, r * H , le coset gauche de H généré par r - est égal à { r, d d } mais H * r est égal à ( r, d u }. La condition selon laquelle aucun élément ne doit figurer dans deux coset différents ne s'applique pas lors de la comparaison de coset droit à un coset gauche.
Les combinaisons à droite de H ne correspondent pas à celles de gauche. Tous les sous-groupes de D 4 ne partagent pas cette propriété. On peut considérer le sous-groupe R de toutes les rotations du carré, R = { e, r, r 2 , r 3 }.
Un petit calcul montre que ses cosets de gauche sont les mêmes que ses cosets de droite. Un tel sous-groupe s'appelle un sous-groupe normal. Les sous-groupes normaux sont extrêmement importants en algèbre abstraite car ils encodent toujours des informations supplémentaires. Par exemple, les deux cosets possibles de R correspondent aux deux situations possibles «le carré a été retourné» et «le carré n'a pas été retourné».