코셋이란?

코셋은 수학적 그룹의 특정 유형의 하위 집합입니다. 예를 들어, 7 {로 표시 될 수있는 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}의 모든 정수 배수의 집합을 고려할 수 있습니다. 각 숫자에 3을 더하면 {... -11, -4, 3, 10, 17 ...} 세트가 생성되며, 수학자들은 7 Z + 3으로 설명합니다.이 후자의 세트를 3에 의해 생성 된 7 Z 의 코 세트라고합니다 .

7 Z 의 두 가지 중요한 특성이 있습니다. 숫자가 7의 배수이면 그 첨가제의 역수도 같습니다. 7의 첨가제 역수는 -7이고, 14의 첨가제 역수는 -14입니다. 또한 7의 배수를 7의 다른 배수에 더하면 7의 배수가됩니다. 수학자들은 덧셈 연산에서 7의 배수가“닫혔다”고 말함으로써 이것을 설명합니다.

이러한 두 가지 특성 때문에 7 Z 를 추가중인 정수의 하위 그룹이라고합니다. 하위 그룹에만 코셋이 있습니다. 모든 입방 숫자의 집합 {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}은 7 Z 와 같은 방식으로 코셋을 갖지 않습니다. : 1 + 8 = 9이며, 9는 3 차 숫자가 아닙니다. 마찬가지로 모든 양의 짝수 ({2, 4, 6, ...})에는 역수가 포함되어 있지 않으므로 코셋이 없습니다.

이 규정의 이유는 모든 숫자가 정확히 하나의 코셋에 있어야하기 때문입니다. {2, 4, 6, ...}의 경우, 6은 4에 의해 생성 된 coset에 있고 2에 의해 생성 된 coset에 있지만 두 코셋은 동일하지 않습니다. 이 두 기준은 각 요소가 정확히 하나의 코셋에 있도록하기에 충분합니다.

코셋은 어떤 그룹에도 존재하며 일부 그룹은 정수보다 훨씬 더 복잡합니다. 고려해야 할 유용한 그룹은 해당 영역을 변경하지 않고 사각형을 이동하는 모든 방법의 집합입니다. 정사각형을 90도 회전하면 모양에 뚜렷한 변화가 없습니다. 마찬가지로 정사각형이 덮는 영역을 변경하지 않고 세로, 가로 또는 대각선으로 뒤집을 수 있습니다. 수학자들은이 그룹을 D 4 라고 부릅니다.

D 4 에는 8 가지 요소가 있습니다. 모든 모서리를 같은 위치에두면 두 요소가 동일한 것으로 간주되므로 사각형을 시계 방향으로 네 번 회전하는 것은 아무 것도하지 않는 것과 같습니다. 이를 염두에두고, 8 개의 요소는 e, r, r 2 , r 3 , v, h, d dd d 로 표시 될 수있다. " e "는 아무것도하지 않는 것을 나타내고, " r2 "는 2 개의 회전을하는 것을 나타낸다. 마지막 4 개의 요소는 각각 수직, 수평 또는 위 또는 아래로 기울어 진 대각선을 따라 사각형을 뒤집는 것을 말합니다.

정수는 Abelian 그룹으로, 그 연산은 다음과 같은 계산법을 만족시킵니다 : 3 + 2 = 2 + 3. D 4 는 Abelian이 아닙니다. 정사각형을 회전 한 다음 수평으로 뒤집어도 뒤집거나 회전하는 것과 같은 방식으로 모서리를 이동하지 않습니다.

비정규 그룹에서 작업 할 때 수학자들은 일반적으로 *를 사용하여 연산을 설명합니다. 작은 작품은 사각형을 회전시킨 다음 수평으로 뒤집는 것, r * h 가 아래쪽 대각선을 뒤집는 것과 같다는 것을 보여줍니다. 따라서 r * h = d d 입니다. 정사각형을 뒤집은 다음 회전하는 것은 위쪽 대각선을 뒤집는 것과 동일하므로 r * h = d u 입니다.

D 4의 순서가 중요하므로 코셋을 설명 할 때 더 정확해야합니다. 정수로 작업 할 때 "3으로 생성 된 7 Z 의 코 세트"라는 구절은 모호하지 않습니다. 왜냐하면 3이 7의 각 배수의 왼쪽 또는 오른쪽에 추가되는지 여부는 중요하지 않기 때문입니다. 주문은 다른 코셋을 생성합니다. 앞에서 설명한 계산에 따르면 r * H , r에 의해 생성 된 H 의 왼쪽 coset은 { r, d d }와 같지만 H * r 은 ( r, d u }와 같음) 두 개의 다른 coset에 요소가 없어야한다는 요구 사항 오른쪽 코셋과 왼쪽 코셋을 비교할 때는 적용되지 않습니다.

H 의 오른쪽 코셋이 왼쪽 코셋과 일치하지 않습니다. D 4 의 모든 하위 그룹이이 속성을 공유하는 것은 아닙니다. 정사각형의 모든 회전의 하위 그룹 R , R = { e, r, r 2 , r 3 }을 고려할 수 있습니다.

약간의 계산은 왼쪽 코셋이 오른쪽 코셋과 동일하다는 것을 보여줍니다. 이러한 하위 그룹을 일반 하위 그룹이라고합니다. 일반 하위 그룹은 항상 추가 정보를 인코딩하기 때문에 추상 대수에서 매우 중요합니다. 예를 들어, 가능한 두 개의 코 세트는 두 개의 가능한 상황“사각이 뒤집혔다”와“사각이 틀리지 않았다”와 동일합니다.

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