Wat is een Coset?
Een coset is een specifiek type subset van een wiskundige groep. Je zou bijvoorbeeld de set van alle integrale veelvouden van 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...} kunnen overwegen, die kunnen worden aangeduid als 7Z . Het toevoegen van 3 aan elk nummer genereert de set {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, die wiskundigen beschrijven als 7 Z + 3. Deze laatste set wordt de coset van 7 Z genoemd, gegenereerd door 3 .
Er zijn twee belangrijke eigenschappen van 7 Z. Als een getal een veelvoud van 7 is, is het additief ook omgekeerd. De additieve inverse van 7 is -7, de additieve inverse van 14 is -14, enzovoort. Ook levert het toevoegen van een veelvoud van 7 aan een ander veelvoud van 7 een veelvoud van 7. Wiskundigen beschrijven dit door te zeggen dat de veelvouden van 7 "gesloten" zijn onder de bewerking van optellen.
Deze twee kenmerken zijn de reden waarom 7 Z een subgroep van de gehele getallen wordt genoemd. Alleen subgroepen hebben cosets. De set van alle kubieke nummers, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, heeft geen cosets op dezelfde manier als 7 Z omdat het niet is gesloten onder toevoeging : 1 + 8 = 9 en 9 is geen kubisch getal. Op dezelfde manier heeft de set van alle positieve even getallen, {2, 4, 6, ...}, geen cosets omdat het geen inversies bevat.
De reden voor deze bepalingen is dat elk nummer exact één coset moet zijn. In het geval van {2, 4, 6, ...} bevindt 6 zich in de coset gegenereerd door 4 en is in de coset gegenereerd door 2, maar die twee cosets zijn niet identiek. Deze twee criteria volstaan om ervoor te zorgen dat elk element zich in precies één coset bevindt.
Cosets bestaan in elke groep en sommige groepen zijn veel gecompliceerder dan de gehele getallen. Een nuttige groep die je zou kunnen overwegen is de verzameling van alle manieren om een vierkant te verplaatsen zonder het gebied dat het bedekt te veranderen. Als een vierkant 90 graden wordt gedraaid, is er geen duidelijke verandering in de vorm. Op dezelfde manier kan het verticaal, horizontaal of over elke diagonaal worden omgedraaid zonder het gebied dat de vierkante afdekkingen veranderen. Wiskundigen noemen deze groep D 4 .
D 4 heeft acht elementen. Twee elementen worden als identiek beschouwd als ze alle hoeken op dezelfde plaats laten, dus het vier keer met de klok mee draaien wordt als hetzelfde beschouwd als niets doen. Met dit in gedachten kunnen de acht elementen worden aangeduid als e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d en d d . De " e " verwijst naar niets doen en " r 2 " geeft twee rotaties aan. Elk van de laatste vier elementen verwijst naar het omdraaien van het vierkant: verticaal, horizontaal of langs de schuin omhoog of omlaag schuine diagonalen.
De gehele getallen zijn een Abelse groep, wat betekent dat de werking ervan voldoet aan de commutatieve wet: 3 + 2 = 2 + 3. D 4 is niet Abeliaans. Door een vierkant te draaien en vervolgens horizontaal om te draaien, worden de hoeken niet op dezelfde manier verplaatst als door het om te draaien en vervolgens te draaien.
Bij het werken in niet-commutatieve groepen gebruiken wiskundigen meestal een * om de bewerking te beschrijven. Een beetje werk laat zien dat het draaien van het vierkant en het vervolgens horizontaal omdraaien, r * h , hetzelfde is als het omdraaien over de neerwaartse diagonaal. Dus r * h = d d . Het vierkant omdraaien en vervolgens draaien, is hetzelfde als het omdraaien over de opwaartse diagonaal, dus r * h = d u .
Bestel zaken in D 4 , dus men moet nauwkeuriger zijn bij het beschrijven van cosets. Bij het werken in de gehele getallen is de zin "de coset van 7 Z gegenereerd door 3" ondubbelzinnig omdat het niet uitmaakt of er 3 links of rechts van elk veelvoud van 7 wordt toegevoegd. Voor een subgroep van D 4 is echter anders bestellingen zullen verschillende cosets creëren. Op basis van de eerder beschreven berekeningen, r * H , is de linker coset van H gegenereerd door r — gelijk aan { r, d d } maar H * r is gelijk aan ( r, d u }. De vereiste dat er geen element in twee verschillende cosets is niet van toepassing bij het vergelijken van rechter cosets met linker cosets.
De rechter cosets van H komen niet overeen met de linker cosets. Niet alle subgroepen van D 4 delen deze eigenschap. Men kan de subgroep R van alle rotaties van het vierkant beschouwen, R = { e, r, r 2 , r 3 }.
Een kleine berekening laat zien dat de linker cosets hetzelfde zijn als de rechter cosets. Zo'n subgroep wordt een normale subgroep genoemd. Normale subgroepen zijn uiterst belangrijk in abstracte algebra omdat ze altijd extra informatie coderen. De twee mogelijke cosets van R zijn bijvoorbeeld gelijk aan de twee mogelijke situaties "het vierkant is omgedraaid" en "het vierkant is niet omgedraaid".