Wat is een coset?

Een coset is een specifiek type subset van een wiskundige groep. Men kan bijvoorbeeld rekening houden met de set van alle integrale veelvouden van 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, die kan worden aangeduid als 7 z . Het toevoegen van 3 aan elk nummer genereert de set {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, die wiskundigen beschrijven als 7 z + 3. Deze laatste set wordt de coset van 7 z gegenereerd door 3.

Er zijn twee belangrijke eigenschappen van 7 z z . Als een getal een veelvoud van 7 is, is het ook additief omgekeerd. De additieve inverse van 7 is -7, de additieve omgekeerde van 14 is -14, enzovoort. Het toevoegen van een veelvoud van 7 aan een ander veelvoud van 7 levert ook een veelvoud van 7 op. Mathematici's beschrijven dit door te zeggen dat de veelvouden van 7 worden "gesloten" onder de werking van toevoeging.

Deze twee kenmerken zijn waarom 7 z een subgroep van de integers wordt genoemd. Alleen subgroepen hebben cosets. De set van alle kubieke nummers, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, heeft geen cosets op dezelfde manier als 7 z omdat het niet is gesloten onder toevoeging: 1 + 8 = 9 en 9 is geen kubisch getal. Evenzo heeft de set van alle positieve gelijkmatige getallen, {2, 4, 6, ...}, geen cosets omdat het geen inverses bevat.

De reden voor deze bepalingen is dat elk nummer in exact één coset moet zijn. In het geval van {2, 4, 6, ...} staat 6 in de coset gegenereerd door 4 en staat in de coset gegenereerd door 2, maar die twee cosets zijn niet identiek. Deze twee criteria voldoende om ervoor te zorgen dat elk element zich in exact één coset bevindt.

Cosets bestaan ​​in elke groep en sommige groepen zijn veel ingewikkelder dan de gehele getallen. Een nuttige groep die men zou kunnen overwegen, is de set van alle manieren om een ​​vierkant te verplaatsen zonder de regio te veranderen die het dekt. Als een vierkant 90 graden wordt gedraaid, is er geen duidelijke verandering in de vorm. Evenzo kan het omdraaienVerticaal, horizontaal of over een van beide diagonaal zonder te veranderen zonder het gebied van de vierkant te veranderen. Wiskundigen noemen deze groep d ₄ .

d ₄ heeft acht elementen. Twee elementen worden als identiek beschouwd als ze alle hoeken op dezelfde plaats verlaten, dus het vier keer roteren van de vierkant wordt als hetzelfde beschouwd als niets doen. Met dit in gedachten kunnen de acht elementen worden aangeduid met e, r, r 2 , r ³ , v, h, d _d , en d _d . De " e " verwijst naar niets te doen, en " r ² " geeft aan twee rotaties. Elk van de laatste vier elementen verwijst naar het omdraaien van het vierkant: verticaal, horizontaal of langs de opwaartse of neerwaartse slanke diagonalen.

De gehele getallen zijn een Abeliaanse groep, wat betekent dat de werking ervan voldoet aan de commutatieve wet: 3 + 2 = 2 + 3. d ₄ is niet Abelian. Een vierkant draaien en het dan horizontaal flippen, doet geent beweeg de hoeken op dezelfde manier als het omdraaien en vervolgens roteren.

Bij het werken in niet-commutatieve groepen gebruiken wiskundigen meestal een * om de operatie te beschrijven. Een klein werk laat zien dat het roteren van het vierkant en het vervolgens horizontaal flippen, r * h , hetzelfde is als het over zijn neerwaartse diagonaal omdraaien. Dus r * h = d _d . Het vierkant omdraaien en vervolgens roteren is gelijk aan het omdraaien van het over zijn opwaartse diagonaal, dus r * h = d _u .

Bestel is belangrijk in d ₄ , dus men moet nauwkeuriger zijn bij het beschrijven van cosets. Bij het werken in de gehele getallen is de uitdrukking "de coset van 7 z gegenereerd door 3" ondubbelzinnig omdat het niet uitmaakt of 3 aan de linkerkant of rechts van elk veelvoud van 7 wordt toegevoegd. Voor een subgroep van d ₄ , echter, verschillende ordenen zullen verschillende cosets creëren. Gebaseerd op de eerder beschreven berekeningen, r * h , de linker COSet van h gegenereerd door r - Equals { r, d _d } maar h * r gelijk aan ( r, d _u }.

De rechter cosets van h komen niet overeen met de linker cosets. Niet alle subgroepen van d ₄ deel deze eigenschap. Men kan de subgroep r van alle rotaties van het vierkant, r = { e, r, r ² , r ³ }.

beschouwen.

Een kleine berekening laat zien dat de linker cosets hetzelfde zijn als de rechtercosets. Een dergelijke subgroep wordt een normale subgroep genoemd. Normale subgroepen zijn uiterst belangrijk in abstracte algebra omdat ze altijd extra informatie coderen. De twee mogelijke cosets van r komen bijvoorbeeld gelijk aan de twee mogelijke situaties "het vierkant is omgedraaid" en "het vierkant is niet omgedraaid."