Hvad er en kosmetik?
En koset er en bestemt type undergruppe af en matematisk gruppe. F.eks. Kan man overveje sættet af alle integrerede multipler på 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, som kan betegnes som 7 Z. At tilføje 3 til hvert nummer genererer sættet {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, som matematikere beskriver som 7 Z + 3. Dette sidstnævnte sæt kaldes koset for 7 Z genereret af 3 .
Der er to vigtige egenskaber ved 7 Z. Hvis et tal er et multiplum af 7, er dets additive invers. Det additive inverse af 7 er -7, det additive inverse af 14 er -14, og så videre. Tilføjelse af et multiplum af 7 til et andet multiplum af 7 giver også et multiplum af 7. Matematikere beskriver dette ved at sige, at multiplerne af 7 er ”lukket” under operationens tilføjelse.
Disse to karakteristika er grunden til, at 7 Z kaldes en undergruppe af heltalene under tilføjelse. Kun undergrupper har koseter. Sættet med alle kubiske tal, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, har ikke cosets på samme måde som 7 Z, fordi det ikke er lukket under tilføjelse : 1 + 8 = 9, og 9 er ikke et kubisk tal. Tilsvarende har sættet med alle positive lige tal, {2, 4, 6, ...}, ikke cosets, fordi det ikke indeholder inverser.
Årsagen til disse betingelser er, at hvert tal skal være i nøjagtigt et valg. Når det gælder {2, 4, 6, ...}, er 6 i den koset, der er genereret af 4, og den er i den, der er genereret af 2, men disse to cosets er ikke identiske. Disse to kriterier er tilstrækkelige for at sikre, at hvert element befinder sig i nøjagtigt ét valg.
Kosmetik findes i enhver gruppe, og nogle grupper er langt mere komplicerede end heltalene. En nyttig gruppe, som man måske overvejer, er sættet med alle måder at flytte en firkant uden at ændre det område, det dækker. Hvis en firkant drejes 90 grader, er der ingen åbenbar ændring i formen. Tilsvarende kan det vippes lodret, vandret eller på tværs af hver diagonal uden at ændre det område, som firkanten dækker. Matematikere kalder denne gruppe D 4 .
D 4 har otte elementer. To elementer betragtes som identiske, hvis de forlader alle hjørner på samme sted, så at dreje firkanten med uret betragtes som det samme som at ikke gøre noget. Med dette i tankerne kan de otte elementer betegnes e, r, r2, r 3 , v, h, d d og d d . “ E ” refererer til at gøre ingenting, og “ r 2 ” betegner at gøre to rotationer. Hvert af de sidste fire elementer henviser til at vende firkanten: lodret, vandret eller langs dets opad- eller nedad skråtliggende diagonaler.
Heltalene er en Abelian-gruppe, hvilket betyder, at dens funktion tilfredsstiller den kommutative lov: 3 + 2 = 2 + 3. D 4 er ikke Abelian. Ved at dreje en firkant og derefter vende den vandret bevæges ikke hjørnerne på samme måde som at vende den og derefter dreje den.
Når man arbejder i ikke-kommutative grupper, bruger matematikere typisk en * til at beskrive handlingen. Et lille arbejde viser, at drejning af firkanten og derefter vende det vandret, r * h , er det samme som at vende det hen over sin nedadgående diagonal. Således er r * h = d d . At vende pladsen og derefter dreje den svarer til at vende den hen over sin opadgående diagonal, så r * h = d u .
Bestil sager i D 4 , så man skal være mere præcis, når man beskriver koseter. Når man arbejder i heltalene, er udtrykket “kusetten på 7 Z genereret af 3” entydig, fordi det ikke betyder noget, om 3 tilføjes til venstre eller højre for hvert multiplum af 7. For en undergruppe af D 4 er derimod forskellige ordrer skaber forskellige cosets. Baseret på beregningerne, der er beskrevet tidligere, r * H , er den venstre coset af H genereret af r — lig med { r, d d }, men H * r er lig med ( r, d u }. Kravet om, at intet element er i to forskellige koseter, gør gælder ikke, når man sammenligner højre cosets med venstre cosets.
De højre kosmetikker af H stemmer ikke overens med dets venstre venster. Ikke alle undergrupper af D 4 deler denne ejendom. Man kan overveje undergruppen R for alle rotationer i kvadratet, R = { e, r, r 2 , r 3 }.
En lille beregning viser, at dens venstre cosets er de samme som dens højre cosets. En sådan undergruppe kaldes en normal undergruppe. Normale undergrupper er ekstremt vigtige i abstrakt algebra, fordi de altid koder for ekstra information. For eksempel svarer de to mulige cosetater af R til de to mulige situationer "kvadratet er blevet vendt" og "kvadratet er ikke blevet vendt."