Hvad er en coset?
En coset er en specifik type undergruppe af en matematisk gruppe. For eksempel kan man overveje sættet af alle integrerede multipler på 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, som kan betegnes som 7 z . Tilføjelse af 3 til hvert nummer genererer sættet {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, som matematikere beskriver som 7 z + 3. Dette sidstnævnte sæt kaldes kosetten på 7 z genereret af 3.
der er to vigtige egenskaber for 7 z z genereret af 3. Hvis et tal er et multiplum på 7, er det også dets additive inverse. Det additive inverse på 7 er -7, det additive inverse af 14 er -14, og så videre. Tilføjelse af et multiplum på 7 til en anden multipel på 7 giver også et multiplum af 7. matematikere beskriver dette ved at sige, at multiplaerne på 7 er "lukket" under driften af tilføjelse.
Disse to egenskaber er grunden til, at 7 z kaldes en undergruppe af heltalerne under tilføjelsen. Kun undergrupper har cosets. Sættet med alle kubiknumre, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, har ikke kosetter på samme måde som 7 z fordi det ikke er lukket under tilføjelse: 1 + 8 = 9 og 9 er ikke et kubisk tal. Tilsvarende har sættet af alle positive lige tal, {2, 4, 6, ...}, ikke koset, fordi det ikke indeholder inverser.
Årsagen til disse bestemmelser er, at hvert nummer skal være i nøjagtigt et koset. I tilfælde af {2, 4, 6, ...} er 6 i den koset genereret af 4 og er i den koset genereret af 2, men disse to koset er ikke identiske. Disse to kriterier er tilstrækkelige for at sikre, at hvert element er i nøjagtigt et koset.
Cosets findes i enhver gruppe, og nogle grupper er langt mere komplicerede end heltalene. En nyttig gruppe, som man måske overvejer, er sættet af alle måder at flytte en firkant uden at ændre den region, den dækker. Hvis en firkant drejes 90 grader, er der ingen åbenbar ændring i formen. Tilsvarende kan det være flipPed lodret, vandret eller på tværs af enten diagonal uden at ændre regionen de firkantede dæksler. Matematikere kalder denne gruppe d 4 .
d 4 har otte elementer. To elementer betragtes som identiske, hvis de forlader alle hjørnerne på samme sted, så roterende kvadratet med uret fire gange betragtes som det samme som at gøre noget. Med dette i tankerne kan de otte elementer betegnes e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , og d d . " e " henviser til ikke at gøre noget, og " r 2 " angiver at gøre to rotationer. Hver af de sidste fire elementer refererer til at vende pladsen: lodret, vandret eller langs dens opadgående eller nedadgående diagonaler.
Heltalene er en abelisk gruppe, hvilket betyder, at dens drift tilfredsstiller den kommutative lov: 3 + 2 = 2 + 3. d 4 er ikke abelisk. Roterende en firkant og derefter vende den vandret gør nejT Flyt hjørnerne på samme måde som at vende det og derefter dreje det.
Når man arbejder i ikke-kommutative grupper, bruger matematikere typisk en * til at beskrive operationen. Et lille arbejde viser, at roterende pladsen og derefter vende det vandret, r * h , er det samme som at vende den hen over dens nedadgående diagonale. Således r * h = d d . Flipping af pladsen og derefter roterende det svarer til at vende den hen over dets opadgående diagonale, så r * h = d u .
Bestil sager i d 4 , så man skal være mere præcis, når man beskriver koset. Når man arbejder i heltalene, er udtrykket ”kosetten af 7 z genereret af 3” entydig, fordi det ikke betyder noget, om 3 tilsættes til venstre eller højre for hver multipel på 7. For en undergruppe på d 4 , vil forskellige ordrer skabe forskellige koseter. Baseret på beregningerne beskrevet tidligere, r * h , den venstre coSæt med h genereret af r - ligner { r, d d } men h * r er lig ( r, d u }. Kravet om, at intet element er i to forskellige kosetter, finder ikke anvendelse, når de sammenligner til venstre til venstre cos.
De højre koset af h stemmer ikke overens med dens venstre koseter. Ikke alle undergrupper af d 4 deler denne egenskab. Man kan overveje undergruppen r af alle rotationer af pladsen, r = { e, r, r 2 , r 3 }.
En lille beregning viser, at dens venstre koset er de samme som dens højre kosetter. En sådan undergruppe kaldes en normal undergruppe. Normale undergrupper er ekstremt vigtige i abstrakt algebra, fordi de altid koder for ekstra information. For eksempel svarer de to mulige kosetter af r til de to mulige situationer "pladsen er vendt" og "firkanten er ikke vendt."