O que é um coset?

Um coset é um tipo específico de subconjunto de um grupo matemático. Por exemplo, pode -se considerar o conjunto de todos os múltiplos integrais de 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, que podem ser denotados como 7 z . A adição de 3 a cada número gera o conjunto {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, que os matemáticos descrevem como 7 z + 3. Este último conjunto é chamado de coset de 7 z gerado por 3. Se um número é um múltiplo de 7, o mesmo acontece com o aditivo inverso. O inverso aditivo de 7 é -7, o inverso aditivo de 14 é -14 e assim por diante. Além disso, adicionar um múltiplo de 7 a outro múltiplo de 7 produz um múltiplo de 7. Os matemáticos descrevem isso dizendo que os múltiplos de 7 estão "fechados" sob a operação de adição. Somente subgrupos têm cosets. O conjunto de todos os números cúbicos, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, não possui cosets da mesma maneira que 7 z porque não está fechado sob adição: 1 + 8 = 9 e 9 não é um número cúbico. Da mesma forma, o conjunto de todos os números pares positivos, {2, 4, 6, ...}, não possui cosets porque não contém inversos.

O motivo dessas estipulações é que cada número deve estar em exatamente um coset. No caso de {2, 4, 6, ...}, 6 está no coset gerado por 4 e está no COSet gerado por 2, mas esses dois cosets não são idênticos. Esses dois critérios são suficientes para garantir que cada elemento esteja em exatamente um coset.

Cosets existem em qualquer grupo, e alguns grupos são muito mais complicados que os números inteiros. Um grupo útil que se pode considerar é o conjunto de todas as maneiras de mover um quadrado sem alterar a região que ela cobre. Se um quadrado for girado 90 graus, não há alteração aparente na forma. Da mesma forma, pode ser virarPed verticalmente, horizontalmente ou em qualquer um diagonal sem alterar a região que as tampas quadradas. Os matemáticos chamam esse grupo d 4 .

d 4 tem oito elementos. Dois elementos são considerados idênticos se deixarem todos os cantos no mesmo local; portanto, girar o quadrado no sentido horário quatro vezes é considerado o mesmo que não fazer nada. Com isso em mente, os oito elementos podem ser denotados e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , e d d . O " e " refere -se a não fazer nada, e " r 2 " indica duas rotações. Cada um dos quatro últimos elementos refere-se a virar o quadrado: verticalmente, horizontalmente ou ao longo de suas diagonais para cima ou para baixo.

Os números inteiros são um grupo abeliano, o que significa que sua operação satisfaz a lei comutativa: 3 + 2 = 2 + 3. d 4 não é abeliana. Girar um quadrado e depois virar horizontalmente não fazT mova os cantos da mesma maneira que vínculo e depois girá -lo.

Ao trabalhar em grupos não comutativos, os matemáticos normalmente usam A * para descrever a operação. Um pouco de trabalho mostra que girar o quadrado e depois virá -lo horizontalmente, r * h , é o mesmo que deslizá -lo em sua diagonal descendente. Assim, r * h = d d . Virando o quadrado e depois girá -lo é equivalente a lançá -lo na sua diagonal ascendente, então r * h = d u .

O pedido é importante em d 4 , portanto, é preciso ser mais preciso ao descrever os Cosets. Ao trabalhar nos números inteiros, a frase “o coset de 7 z gerado por 3” é inequívoco porque não importa se 3 é adicionado à esquerda ou à direita de cada múltiplo de 7. Para um subgrupo de d 4 , no entanto, as ordens diferentes criarão diferentes costas. Com base nos cálculos descritos anteriormente, r * h , o co esquerdoConjunto de h gerado por r - equals { r, d d }, mas h * r é igual ( r, d diferentes cacos não se aplica a cós -também que não se aplicam quando se aplicam quando se aplicam quando se aplicam quando se aplicam quando os outros não se aplicam quando os cós também se aplicam quando se aplicam quando os outros não se aplicam quando os cós também se aplicam quando se aplicam quando os outros não se aplicam quando os outros.

Os cosetes certos de h não correspondem aos seus cosets esquerdos. Nem todos os subgrupos de d 4 compartilham esta propriedade. Pode -se considerar o subgrupo r de todas as rotações do quadrado, r = { e, r, r 2 , r 3 }.

Um pequeno cálculo mostra que seus cosets esquerdos são os mesmos que seus cosets certos. Esse subgrupo é chamado de subgrupo normal. Os subgrupos normais são extremamente importantes na álgebra abstrata porque sempre codificam informações extras. Por exemplo, os dois Cosets possíveis de r equivalem às duas situações possíveis "o quadrado foi invertido" e "o quadrado não foi invertido".