O que é um coset?

Um coset é um tipo específico de subconjunto de um grupo matemático. Por exemplo, pode-se considerar o conjunto de todos os múltiplos integrais de 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, que podem ser indicados como 7 Z. A adição de 3 a cada número gera o conjunto {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, que os matemáticos descrevem como 7 Z + 3. Esse último conjunto é chamado de cosset de 7 Z gerado por 3 .

Existem duas propriedades importantes de 7 Z. Se um número é múltiplo de 7, o mesmo ocorre com o inverso aditivo. O inverso aditivo de 7 é -7, o inverso aditivo de 14 é -14 e assim por diante. Além disso, adicionar um múltiplo de 7 a outro múltiplo de 7 produz um múltiplo de 7. Os matemáticos descrevem isso dizendo que os múltiplos de 7 são "fechados" sob a operação de adição.

Essas duas características são o motivo pelo qual 7 Z é chamado de subgrupo dos números inteiros em adição. Apenas subgrupos possuem cosets. O conjunto de todos os números cúbicos, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, não possui cosets da mesma maneira que 7 Z porque não está fechado na adição : 1 + 8 = 9 e 9 não é um número cúbico. Da mesma forma, o conjunto de todos os números pares positivos, {2, 4, 6, ...}, não possui cosets porque não contém inversos.

A razão para essas estipulações é que todo número deve estar exatamente em um coset. No caso de {2, 4, 6, ...}, 6 está no coset gerado por 4 e está no coset gerado por 2, mas esses dois cosets não são idênticos. Esses dois critérios são suficientes para garantir que cada elemento esteja exatamente em um coset.

Existem cosets em qualquer grupo e alguns são muito mais complicados que os números inteiros. Um grupo útil que se pode considerar é o conjunto de todas as maneiras de mover um quadrado sem alterar a região que ele cobre. Se um quadrado é girado 90 graus, não há mudança aparente na forma. Da mesma forma, ele pode ser invertido verticalmente, horizontalmente ou diagonalmente, sem alterar a região que o quadrado cobre. Os matemáticos chamam esse grupo D 4 .

D 4 tem oito elementos. Dois elementos são considerados idênticos se deixarem todos os cantos no mesmo lugar; portanto, girar o quadrado no sentido horário quatro vezes é considerado o mesmo que não fazer nada. Com isso em mente, os oito elementos podem ser denotados e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d e d d . O " e " refere-se a não fazer nada, e " r 2 " indica fazer duas rotações. Cada um dos quatro últimos elementos se refere à inversão do quadrado: vertical, horizontal ou ao longo de suas diagonais inclinadas para cima ou para baixo.

Os números inteiros são um grupo abeliano, o que significa que sua operação satisfaz a lei comutativa: 3 + 2 = 2 + 3. D 4 não é abeliano. Girar um quadrado e girá-lo horizontalmente não move os cantos da mesma maneira que girá-lo e girá-lo.

Ao trabalhar em grupos não comutativos, os matemáticos normalmente usam um * para descrever a operação. Um pouco de trabalho mostra que girar o quadrado e girá-lo horizontalmente, r * h , é o mesmo que girá-lo na diagonal para baixo. Assim, r * h = d d . Inverter o quadrado e depois girá-lo é equivalente a inverter sua diagonal para cima, então r * h = d u .

A ordem é importante em D 4 , portanto é preciso ser mais preciso ao descrever os cosets. Ao trabalhar com números inteiros, a frase "o conjunto de 7 Z gerado por 3" é inequívoca, pois não importa se 3 é adicionado à esquerda ou à direita de cada múltiplo de 7. Para um subgrupo de D 4 , no entanto, diferentes pedidos criarão diferentes cosets. Com base nos cálculos descritos anteriormente, r * H , o cossete esquerdo de H gerado por r - é igual a ( r, d d }, mas H * r é igual a ( r, d u ). não se aplica ao comparar os cosets da direita com os da esquerda.

Os cosets direitos de H não coincidem com os cosets esquerdos. Nem todos os subgrupos de D 4 compartilham essa propriedade. Pode-se considerar o subgrupo R de todas as rotações do quadrado, R = { e, r, r 2 , r 3 }.

Um pequeno cálculo mostra que seus cosets esquerdos são os mesmos que os cosets direitos. Esse subgrupo é chamado de subgrupo normal. Subgrupos normais são extremamente importantes na álgebra abstrata porque sempre codificam informações extras. Por exemplo, os dois possíveis cosets de R são iguais às duas situações possíveis: "o quadrado foi invertido" e "o quadrado não foi invertido".

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