Vad är en Coset?
A COSET är en specifik typ av delmängd av en matematisk grupp. Till exempel kan man överväga uppsättningen av alla integrerade multiplar på 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, som kan betecknas som 7 z . Att lägga till 3 till varje nummer genererar uppsättningen {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, som matematiker beskriver som 7 z + 3. Denna senare uppsättning kallas coset av 7 z genererade av 3.
Det finns två viktiga egenskaper av 7 z . Om ett nummer är en multipel av 7, så är dess tillsatser omvända. Tillsatsen inversa av 7 är -7, tillsatsen av 14 är -14, och så vidare. Att lägga till en multipel av 7 till en annan multipel av 7 ger en multipel av 7. Matematiker beskriver detta genom att säga att multiplarna av 7 är "stängda" under drift av tillägg.
Dessa två egenskaper är varför 7 z kallas en undergrupp av heltal under tillägg. Endast undergrupper har kosetter. Uppsättningen av alla kubiska nummer, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, har inte kosetter på samma sätt som 7 z eftersom det inte är stängt under tillägg: 1 + 8 = 9, och 9 är inte ett kubiskt nummer. På liknande sätt har uppsättningen av alla positiva jämna siffror, {2, 4, 6, ...}, inte kosetter eftersom den inte innehåller inverser.
Anledningen till dessa bestämmelser är att varje nummer ska vara i exakt en COSET. När det gäller {2, 4, 6, ...} är 6 i coset som genereras av 4 och är i coset som genereras av 2, men dessa två kosetter är inte identiska. Dessa två kriterier räcker för att säkerställa att varje element är i exakt en COSET.
kosetter finns i alla grupper, och vissa grupper är mycket mer komplicerade än heltal. En användbar grupp som man kan tänka på är uppsättningen av alla sätt att flytta en fyrkant utan att ändra regionen den täcker. Om en kvadrat roteras 90 grader finns det ingen uppenbar förändring i formen. På samma sätt kan det vara flipPed vertikalt, horisontellt eller över antingen diagonal utan att ändra regionen som fyrkanten täcker. Matematiker kallar denna grupp d 4 .
d 4 har åtta element. Två element anses identiska om de lämnar alla hörn på samma plats, så att rotera den fyrkantiga medurs fyra gånger anses vara detsamma som att göra ingenting. Med detta i åtanke kan de åtta elementen betecknas e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , och d d . " e " hänvisar till att göra ingenting, och " r 2 " betecknar att göra två rotationer. Var och en av de sista fyra elementen hänvisar till att vända torget: vertikalt, horisontellt eller längs dess uppåt- eller nedåtsprutande diagonaler.
Heltalen är en abelisk grupp, vilket innebär att dess operation uppfyller kommutativ lag: 3 + 2 = 2 + 3. d 4 är inte Abelian. Rotera en fyrkant och sedan vända den horisontellt gör nejt Flytta hörnen på samma sätt som att vippa det och sedan rotera det.
När man arbetar i icke-kommutativa grupper använder matematiker vanligtvis en * för att beskriva operationen. Ett litet arbete visar att roterande torget och sedan vänder det horisontellt, r * h , är detsamma som att vända det över dess nedåt diagonala. Således r * h = d d . Vändning av torget och sedan roterar den motsvarar den över dess uppåt diagonala, så r * h = d u .
Order är viktig i d 4 , så man måste vara mer exakt när man beskriver kosetter. När du arbetar i heltal är frasen "koset av 7 z som genereras av 3" otvetydigt eftersom det inte spelar någon roll om 3 läggs till på vänster eller höger om varje multipel av 7. För en undergrupp av d 4 , men olika beställningar kommer att skapa olika kakor. Baserat på beräkningarna beskrivs tidigare, r * h , vänster COUppsättning av h genererad av r - ekval { r, d d } men h * r lika ( r, d u }. Kravet att inget element ska vara i två olika korer tillämpas inte när det är att jämföra när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra när det gäller att jämföra när det gäller att jämföra när det gäller att jämföra när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra när det gäller att jämföra när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra åt vänster när det gäller att jämföra när det gäller att jämföra åt höger om vänster.
De högra kosetterna av h matchar inte dess vänstra kosetter. Inte alla undergrupper av d 4 Dela den här egenskapen. Man kan överväga undergruppen r för alla rotationer på torget, r = { e, r, r 2 , r 3 }.
En liten beräkning visar att dess vänstra kosetter är desamma som dess högra kosetter. En sådan undergrupp kallas en normal undergrupp. Normala undergrupper är oerhört viktiga i abstrakt algebra eftersom de alltid kodar extra information. Till exempel motsvarar de två möjliga kosetterna av r de två möjliga situationerna "torget har vänds" och "torget har inte vänds."