Vad är en skönhet?
En koset är en specifik typ av delmängd i en matematisk grupp. Till exempel kan man överväga uppsättningen av alla integrerade multiplar om 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, som kan betecknas som 7 Z. Att lägga till 3 till varje nummer genererar uppsättningen {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, som matematiker beskriver som 7 Z + 3. Denna senare uppsättning kallas koset för 7 Z genererad av 3 .
Det finns två viktiga egenskaper på 7 Z. Om ett tal är ett multipel av 7, så är dess tillsats omvänd. Tillsatsinversionen av 7 är -7, tillsatsinversionen av 14 är -14, och så vidare. Att lägga till en multipel av 7 till en annan multipel av 7 ger också en multipel av 7. Matematiker beskriver detta genom att säga att multiplarna av 7 är "stängda" under tilläggsoperationen.
Dessa två kännetecken är varför 7 Z kallas en undergrupp av heltalen under tillägg. Endast undergrupper har koster. Uppsättningen med alla kubiska siffror, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, har inte koseter på samma sätt som 7 Z eftersom den inte är stängd under tillägg : 1 + 8 = 9 och 9 är inte ett kubiskt tal. På samma sätt har uppsättningen av alla positiva jämna siffror, {2, 4, 6, ...}, inga koseter eftersom den inte innehåller inverser.
Anledningen till dessa bestämmelser är att varje nummer ska ligga i exakt en kosta. När det gäller {2, 4, 6, ...}, är 6 i den kosmet som genereras av 4 och är i den koset som genereras av 2, men dessa två koseter är inte identiska. Dessa två kriterier räcker för att säkerställa att varje element befinner sig i exakt en kosmet.
Kosmetika finns i någon grupp, och vissa grupper är mycket mer komplicerade än heltal. En användbar grupp som man kan tänka på är uppsättningen av alla sätt att flytta en kvadrat utan att ändra regionen den täcker. Om en fyrkant roteras 90 grader, sker det ingen uppenbar förändring i formen. På samma sätt kan den vippas vertikalt, horisontellt eller över antingen diagonal utan att ändra det område som fyrkanten täcker. Matematiker kallar denna grupp D 4 .
D 4 har åtta element. Två element betraktas som identiska om de lämnar alla hörn på samma plats, så att rotera fyrkanten medurs fyra gånger anses vara detsamma som att göra ingenting. Med detta i åtanke kan de åtta elementen betecknas e, r, r2, r 3 , v, h, d d och d d . " E " avser att göra ingenting, och " r 2 " betyder att du gör två rotationer. Var och en av de sista fyra elementen hänvisar till att vända fyrkanten: vertikalt, horisontellt eller längs dess uppåt- eller nedåt-sneda diagonaler.
Heltalen är en abelisk grupp, vilket innebär att dess funktion uppfyller kommutativa lagen: 3 + 2 = 2 + 3. D4 är inte Abelian. Om du roterar en fyrkant och sedan vänder den horisontellt rör sig inte hörnen på samma sätt som att vända den och sedan rotera den.
När man arbetar i icke-kommutativa grupper använder matematiker vanligtvis en * för att beskriva operationen. Lite arbete visar att rotera torget och sedan vända det horisontellt, r * h , är detsamma som att vända det över dess nedåtgående diagonal. Således r * h = d d . Att vända fyrkanten och sedan rotera det motsvarar att vända det över dess uppåtgående diagonal, så r * h = d u .
Ordning är viktig i D 4 , så man måste vara mer exakt när man beskriver koseter. När man arbetar i heltal är frasen ”koset av 7 Z genererad av 3” otvetydig eftersom det inte spelar någon roll om 3 läggs till till vänster eller höger om varje multipel av 7. För en undergrupp av D 4 är dock olika beställningar skapar olika koseter. Baserat på beräkningarna som beskrivs tidigare, r * H , är den vänstra koseten för H genererad av r - lika med { r, d d } men H * r lika med ( r, d u }. Kravet att inget element är i två olika koseter gör gäller inte vid jämförelse av högerkosetter med vänsterkosetier.
De högra kosmetterna av H matchar inte dess vänstra koseter. Inte alla undergrupper av D 4 delar denna fastighet. Man kan överväga undergruppen R för alla rotationer på torget, R = { e, r, r 2 , r 3 }.
En liten beräkning visar att dess vänstra koseter är desamma som dess högra koseter. En sådan undergrupp kallas en normal undergrupp. Normala undergrupper är oerhört viktiga i abstrakt algebra eftersom de alltid kodar för extra information. Till exempel är de två möjliga kosetterna för R lika med de två möjliga situationerna "torget har blivit vänt" och "torget har inte blivit vänt."