Co je to Coset?
Coset je specifický typ podmnožiny matematické skupiny. Například bychom mohli zvážit množinu všech integrálních násobků 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, které lze označit jako 7Z . Přidáním 3 ke každému číslu se vygeneruje množina {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, kterou matematici označují jako 7 Z + 3. Tato poslední sada se nazývá coset 7 Z generovaný 3 .
Existují dvě důležité vlastnosti 7 Z. Pokud je číslo násobkem 7, tak je jeho aditivní inverze. Inverzní aditivum 7 je -7, adverzní aditivum 14 je -14 atd. Také přidání násobku 7 k dalšímu násobku 7 poskytne násobek 7. Matematici to popisují tak, že násobky 7 jsou „uzavřeny“ při operaci sčítání.
Tyto dvě charakteristiky jsou důvodem, proč je 7 Z nazýváno podskupinou celých čísel navíc. Pouze podskupiny mají cosety. Množina všech krychlových čísel {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...} nemá kosety stejným způsobem jako 7 Z, protože není přidána do sčítání : 1 + 8 = 9 a 9 není krychlové číslo. Podobně sada všech kladných sudých čísel {2, 4, 6, ...} nemá kosety, protože neobsahuje inverze.
Důvodem těchto ustanovení je, že každé číslo by mělo být přesně v jednom kódu. V případě {2, 4, 6, ...} je 6 v kometě generované 4 a v kometě generované 2, ale tyto dva kosety nejsou identické. Tato dvě kritéria postačují k zajištění toho, že každý prvek je v přesně jednom souboru.
Kosety existují v jakékoli skupině a některé skupiny jsou mnohem komplikovanější než celá čísla. Užitečnou skupinou, kterou bychom mohli zvážit, je sada všech způsobů, jak přesunout čtverec beze změny oblasti, kterou pokrývá. Pokud je čtverec otočen o 90 stupňů, nedochází ke zjevné změně tvaru. Podobně může být převrácena svisle, vodorovně nebo napříč některou z diagonál, aniž by se změnila oblast, ve které se čtvercové kryty nacházejí. Matematici nazývají tuto skupinu D 4 .
D4 má osm prvků. Dva prvky jsou považovány za identické, pokud ponechají všechny rohy na stejném místě, takže čtyřnásobné otočení čtverce ve směru hodinových ručiček je považováno za totéž, co nedělá nic. S ohledem na to může být osm prvků označeno e, r, r2, r3, v, h, dd a d d . „ E “ znamená nečinnost a „ r 2 “ znamená dvě rotace. Každý z posledních čtyř prvků se vztahuje k převrácení čtverce: svisle, vodorovně nebo podél jeho šikmé úhly nahoru nebo dolů.
Celá čísla jsou abelianská skupina, což znamená, že její operace splňuje komutativní zákon: 3 + 2 = 2 + 3. D4 není Abelian. Otočení čtverce a jeho vodorovné převrácení neposouvá rohy stejným způsobem jako převrácení a jeho otáčení.
Při práci v nekomutativních skupinách matematici obvykle popisují operaci *. Malá práce ukazuje, že rotace čtverce a jeho horizontální převrácení, r * h , je stejná jako jeho převrácení přes jeho úhlopříčku dolů. Tak r * h = d d . Převrácení čtverce a jeho otáčení je ekvivalentní převrácení přes jeho úhlopříčku nahoru, takže r * h = d u .
Na objednávce záleží v D 4 , takže při popisu kosetů musí být přesnější. Při práci v celých číslech je fráze „coset 7 Z generovaný 3“ jednoznačná, protože nezáleží na tom, zda je 3 přidán vlevo nebo vpravo od každého násobku 7. Pro podskupinu D4 je však jiný objednávky vytvoří různé cosety. Na základě výše popsaných výpočtů, r * H , levá množina H generovaná r - se rovná { r, d d }, ale H * r se rovná ( r, d u }. Požadavek, aby žádný prvek nebyl ve dvou různých kosetech, nemá to neplatí při porovnávání pravých cosetů s levými cosety.
Pravé kosety H se neshodují s levými kosety. Ne všechny podskupiny D 4 sdílejí tuto vlastnost. Lze uvažovat podskupinu R všech rotací čtverce, R = { e, r, r 2 , r 3 }.
Malý výpočet ukazuje, že jeho levé kosety jsou stejné jako její pravé kosety. Taková podskupina se nazývá normální podskupina. Normální podskupiny jsou v abstraktní algebře nesmírně důležité, protože vždy zakódují další informace. Například dva možné kosety R se rovnají dvěma možným situacím „čtverec byl převrácen“ a „čtverec nebyl převrácen“.