Co je to Coset?
Coset je specifický typ podmnožiny matematické skupiny. Například by se dalo zvážit sadu všech integrálních násobků 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, které lze označit jako 7 z . Přidání 3 ke každému číslu generuje sadu {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, které matematici popisují jako 7 z + 3. Tato druhá sada se nazývá Coset 7 Z generovaných 3
existují dvě důležité vlastnosti 7 z . Pokud je číslo násobkem 7, je to také jeho přísada inverzní. Aditivní inverze 7 je -7, aditivní inverzní 14 je -14 atd. Také přidání násobku 7 k jinému násobku 7 dává násobku 7. matematiků to popisuje tím, že násobky 7 jsou „uzavřeny“ pod operací sčítání. Pouze podskupiny mají kosety. Sada všech kubických čísel, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, nemá kosety stejným způsobem jako 7 z , protože není pod nadáváním uzavřeno: 1 + 8 = 9 a 9 není kubické číslo. Podobně sada všech pozitivních sudých čísel, {2, 4, 6, ...}, nemá kosety, protože neobsahuje inverses.
Důvodem těchto ustanovení je to, že každé číslo by mělo být v přesně jednom kosetu. V případě {2, 4, 6, ...} je 6 v kosetu generované 4 a je v kosetu generované 2, ale tyto dva kosery nejsou identické. Tato dvě kritéria stačí k zajištění toho, aby každý prvek byl přesně v jednom koseru.
Coset existují v jakékoli skupině a některé skupiny jsou mnohem komplikovanější než celá čísla. Užitečnou skupinou, kterou by se dalo zvážit, je sada všech způsobů, jak přesunout čtverec bez změny oblasti, kterou pokrývá. Pokud je čtverec otočen o 90 stupňů, nedochází k zjevné změně tvaru. Podobně to může být převrátitPED vertikálně, vodorovně nebo přes diagonální bez změny oblasti čtvercové kryty. Matematici nazývají tuto skupinu d 4 .
d 4 má osm prvků. Dva prvky jsou považovány za totožné, pokud opustí všechny rohy na stejném místě, takže otočení čtvercového ve směru hodinových ručiček je považováno za stejné jako nic jako nic. S ohledem na to lze osm prvků označit e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , a d . „ e “ odkazuje na to, že nic nedělá, a „ r 2 “ označuje provádění dvou rotací. Každý z posledních čtyř prvků se týká převrácení čtverce: vertikálně, vodorovně nebo podél jeho vzestupných nebo směrových úhlopříčků.
Celá čísla jsou abeliánská skupina, což znamená, že její operace splňuje komutativní zákon: 3 + 2 = 2 + 3. d 4 není Abelian. Otočení čtverce a poté ho vodorovně převrátí neT přesuňte rohy stejným způsobem jako jeho převrácení a poté otočením.
Při práci v nekomutativních skupinách matematici obvykle používají A * k popisu operace. Malá práce ukazuje, že otočení čtverce a poté ho vodorovně převrátí, r * h , je stejné jako převrácení přes svou diagonálu dolů. Tedy r * h = d d . Převrácení čtverce a poté otočení je ekvivalentní převrácení přes jeho vzestupnou úhlopříčku, takže r * h = d u .
Objednávka v d 4 , takže při popisu kosetách musí být přesnější. Při práci v celých číslech je fráze „Coset 7 z generovaných 3“ jednoznačná, protože nezáleží na tom, zda jsou 3 přidány na levé nebo pravé straně každého násobku 7. Pro podskupinu d 4 však různé řády vytvoří různé kosety. Na základě výpočtů popisuje dříve, r * h , levý COSada h generovaná R - Equals { r, d d } Ale h * r rovná se ( r, d u
Správné kosety h neodpovídají jeho levým koskům. Ne všechny podskupiny d 4 Sdílejte tuto vlastnost. Jeden může zvážit podskupinu r ze všech rotací čtverce, r = { e, r, r 2 , r 3 }.
Malý výpočet ukazuje, že jeho levé kosety jsou stejné jako jeho pravé kosety. Taková podskupina se nazývá normální podskupina. Normální podskupiny jsou v abstraktní algebry nesmírně důležité, protože vždy kódují další informace. Například dva možné kosety r se rovná dvěma možným situacím „čtverec byl převrácen“ a „čtverec nebyl převrácen“.