Hva er en kosthold?
En koset er en spesifikk type undergruppe av en matematisk gruppe. For eksempel kan man vurdere settet med alle integrerte multiplum på 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, som kan betegnes som 7 Z. Å legge til 3 til hvert tall genererer settet {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, som matematikere beskriver som 7 Z + 3. Dette siste settet kalles koset for 7 Z generert av 3 .
Det er to viktige egenskaper på 7 Z. Hvis et tall er et multiplum av 7, er også additivet invers. Tilsetningsinversjonen av 7 er -7, tilsetningsinversjonen av 14 er -14, og så videre. Å legge til et multiplum av 7 til et annet multiplum av 7 gir også et multiplum av 7. Matematikere beskriver dette ved å si at multiplene av 7 er "lukket" under tilsetningsoperasjonen.
Disse to egenskapene er grunnen til at 7 Z kalles en undergruppe av heltalene under tillegg. Bare undergrupper har koseter. Settet med alle kubiske tall, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, har ikke kosets på samme måte som 7 Z fordi det ikke er lukket under tillegg : 1 + 8 = 9, og 9 er ikke et kubisk tall. Tilsvarende har settet med alle positive jevne tall, {2, 4, 6, ...}, ikke cosets fordi det ikke inneholder inverser.
Årsaken til disse bestemmelsene er at hvert nummer skal være i nøyaktig ett kosthold. Når det gjelder {2, 4, 6, ...}, er 6 i koseten generert av 4 og er i koset generert av 2, men disse to kosettene er ikke identiske. Disse to kriteriene er tilstrekkelige for å sikre at hvert element er i nøyaktig ett valg.
Kosmetikk finnes i en hvilken som helst gruppe, og noen grupper er langt mer kompliserte enn heltalene. En nyttig gruppe som man kan vurdere er settet med alle måtene å flytte en firkant på uten å endre området den dekker. Hvis en firkant dreies 90 grader, er det ingen tydelig endring i formen. Tilsvarende kan den vippes vertikalt, horisontalt eller over en diagonal uten å endre området som firkanten dekker. Matematikere kaller denne gruppen D 4 .
D 4 har åtte elementer. To elementer anses som identiske hvis de lar alle hjørnene være på samme sted, så å dreie firkanten med klokken fire ganger anses som det samme som å ikke gjøre noe. Med dette i bakhodet kan de åtte elementene betegnes e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d og d d . " E " refererer til å gjøre ingenting, og " r 2 " betyr å gjøre to rotasjoner. Hvert av de fire siste elementene refererer til å snu ruta: vertikalt, horisontalt eller langs dets oppover- eller nedover skrå diagonaler.
Heltallene er en Abelian-gruppe, noe som betyr at dens drift tilfredsstiller kommutasjonsloven: 3 + 2 = 2 + 3. D 4 er ikke Abelian. Hvis du roterer en firkant og deretter vipper den horisontalt, beveger du ikke hjørnene på samme måte som å vende den og deretter rotere den.
Når du jobber i ikke-kommutative grupper, bruker matematikere vanligvis en * for å beskrive operasjonen. Et lite arbeid viser at å rotere torget og deretter vende det horisontalt, r * h , er det samme som å snu det over sin nedadgående diagonal. Dermed r * h = d d . Å snu firkanten og deretter rotere det tilsvarer å snu den over sin oppadgående diagonal, så r * h = d u .
Orden betyr noe i D 4 , så man må være mer presis når man beskriver koseter. Når du arbeider i heltalene, er uttrykket “koset til 7 Z generert av 3” entydig fordi det ikke spiller noen rolle om 3 legges til venstre eller høyre for hver multiplum av 7. For en undergruppe av D 4 er imidlertid forskjellige bestillinger vil opprette forskjellige koseter. Basert på beregningene som er beskrevet tidligere, r * H , er den venstre koseten til H generert av r — lik { r, d d } men H * r er lik ( r, d u }. Kravet om at ingen element er i to forskjellige koseter gjør det gjelder ikke når du sammenligner høyre kosmetikk med venstre koset.
De høyre kosetningene til H samsvarer ikke med de venstre kosettene. Ikke alle undergrupper av D 4 deler denne eiendommen. Man kan vurdere undergruppen R for alle rotasjoner på kvadratet, R = { e, r, r 2 , r 3 }.
En liten beregning viser at dens venstre kosmet er de samme som høyre høyre. En slik undergruppe kalles en normal undergruppe. Normale undergrupper er ekstremt viktige i abstrakt algebra fordi de alltid koder for ekstra informasjon. For eksempel tilsvarer de to mulige kosetningene til R de to mulige situasjonene “kvadratet har blitt vendt” og “kvadratet har ikke blitt vendt.”