Hva er en koset?

En koset er en spesifikk type delmengde av en matematisk gruppe. For eksempel kan man vurdere settet med alle integrerte multipler på 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, som kan betegnes som 7 z . Å legge til 3 til hvert tall genererer settet {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, som matematikere beskriver som 7 z + 3. Dette sistnevnte sett kalles kosetten på 7 z generert med 3.

Det er to viktige egenskaper på 7 z

det er to viktige egenskaper på 7 Hvis et tall er et multiplum på 7, er det også additive omvendt. Additiv inverse av 7 er -7, additiv inverse av 14 er -14, og så videre. Å legge til et multiplum av 7 til et annet multiplum av 7 gir et multiplum av 7. Matematikere beskriver dette ved å si at multiplene på 7 er "lukket" under drift av tillegg.

Disse to egenskapene er grunnen til at 7 z kalles en undergruppe av heltallene under tillegg. Bare undergrupper har koseter. Settet med alle kubiske tall, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, har ikke koseter på samme måte som 7 z fordi det ikke er lukket under tillegg: 1 + 8 = 9, og 9 er ikke et kubikknummer. Tilsvarende har ikke settet med alle positive jevntall, {2, 4, 6, ...}, koseter fordi det ikke inneholder inverser.

Årsaken til disse bestemmelsene er at hvert tall skal være i nøyaktig en koset. Når det gjelder {2, 4, 6, ...}, er 6 i koseten generert av 4 og er i koseten generert av 2, men de to kosetene er ikke identiske. Disse to kriteriene er tilstrekkelig for å sikre at hvert element er i nøyaktig en koset.

Koseter eksisterer i enhver gruppe, og noen grupper er langt mer kompliserte enn heltalene. En nyttig gruppe som man kan vurdere er settet med alle måtene å flytte et firkant uten å endre regionen den dekker. Hvis en firkant roteres 90 grader, er det ingen åpenbar endring i formen. Tilsvarende kan det være flipPED vertikalt, horisontalt eller på tvers av enten diagonal uten å endre regionen kvadratet dekker. Matematikere kaller denne gruppen d 4 .

d 4 har åtte elementer. To elementer anses som identiske hvis de etterlater alle hjørnene på samme sted, så å rotere kvadratet med klokken fire ganger regnes som det samme som å gjøre ingenting. Med dette i bakhodet kan de åtte elementene betegnes E, R, R ^{2 , R 3 , V, H, D _{D ,}} og D _D . “ e ” refererer til å gjøre ingenting, og “ r ² ” betegner å gjøre to rotasjoner. Hvert av de fire siste elementene refererer til å snu torget: vertikalt, horisontalt eller langs sine oppadgående eller nedover-skrående diagonaler.

Heltallene er en abelisk gruppe, noe som betyr at dens operasjon tilfredsstiller kommutative lov: 3 + 2 = 2 + 3. d _{4 er ikke abelisk. Å rotere en firkant og deretter snu den horisontalt gjør ingent flytt hjørnene på samme måte som å snu den og deretter rotere den.}

Når du jobber i ikke-kommutative grupper, bruker matematikere typisk en * for å beskrive operasjonen. Et lite arbeid viser at å rotere torget og deretter snu det horisontalt, r * h , er det samme som å snu det over den nedadgående diagonalen. Dermed r * h = d _d . Å snu torget og deretter rotere det tilsvarer å snu det over sin oppadgående diagonal, så r * h = d u .

Bestillesaker i d 4 , så man må være mer presis når man beskriver koseter. Når du jobber i heltallene, er uttrykket “kosetten til 7 z generert av 3” entydig fordi det ikke spiller noen rolle om 3 er lagt til venstre eller høyre for hvert multiplum av 7. I en undergruppe på d _{4 , vil forskjellige ordrer imidlertid lage forskjellige kosetter. Basert på beregningene beskrevet tidligere, r * h , venstre coSett av}

De høyre kosetene til h stemmer ikke overens med venstre koseter. Ikke alle undergrupper av d 4 Del denne egenskapen. Man kan vurdere undergruppen r av alle rotasjoner på torg

En liten beregning viser at venstre koseter er de samme som de høyre kosetene. En slik undergruppe kalles en normal undergruppe. Normale undergrupper er ekstremt viktige i abstrakt algebra fordi de alltid koder for ekstra informasjon. For eksempel tilsvarer de to mulige kosetene med r de to mulige situasjonene “Torget er blitt snudd” og “Torget har ikke blitt snudd.”