Hva er en kosthold?

En koset er en spesifikk type undergruppe av en matematisk gruppe. For eksempel kan man vurdere settet med alle integrerte multiplum på 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, som kan betegnes som 7 Z. Å legge til 3 til hvert tall genererer settet {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, som matematikere beskriver som 7 Z + 3. Dette siste settet kalles koset for 7 Z generert av 3 .

Det er to viktige egenskaper på 7 Z. Hvis et tall er et multiplum av 7, er også additivet invers. Tilsetningsinversjonen av 7 er -7, tilsetningsinversjonen av 14 er -14, og så videre. Å legge til et multiplum av 7 til et annet multiplum av 7 gir også et multiplum av 7. Matematikere beskriver dette ved å si at multiplene av 7 er "lukket" under tilsetningsoperasjonen.

Disse to egenskapene er grunnen til at 7 Z kalles en undergruppe av heltalene under tillegg. Bare undergrupper har koseter. Settet med alle kubiske tall, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, har ikke kosets på samme måte som 7 Z fordi det ikke er lukket under tillegg : 1 + 8 = 9, og 9 er ikke et kubisk tall. Tilsvarende har settet med alle positive jevne tall, {2, 4, 6, ...}, ikke cosets fordi det ikke inneholder inverser.

Årsaken til disse bestemmelsene er at hvert nummer skal være i nøyaktig ett kosthold. Når det gjelder {2, 4, 6, ...}, er 6 i koseten generert av 4 og er i koset generert av 2, men disse to kosettene er ikke identiske. Disse to kriteriene er tilstrekkelige for å sikre at hvert element er i nøyaktig ett valg.

Kosmetikk finnes i en hvilken som helst gruppe, og noen grupper er langt mer kompliserte enn heltalene. En nyttig gruppe som man kan vurdere er settet med alle måtene å flytte en firkant på uten å endre området den dekker. Hvis en firkant dreies 90 grader, er det ingen tydelig endring i formen. Tilsvarende kan den vippes vertikalt, horisontalt eller over en diagonal uten å endre området som firkanten dekker. Matematikere kaller denne gruppen D 4 .

D 4 har åtte elementer. To elementer anses som identiske hvis de lar alle hjørnene være på samme sted, så å dreie firkanten med klokken fire ganger anses som det samme som å ikke gjøre noe. Med dette i bakhodet kan de åtte elementene betegnes e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d og d d . " E " refererer til å gjøre ingenting, og " r 2 " betyr å gjøre to rotasjoner. Hvert av de fire siste elementene refererer til å snu ruta: vertikalt, horisontalt eller langs dets oppover- eller nedover skrå diagonaler.

Heltallene er en Abelian-gruppe, noe som betyr at dens drift tilfredsstiller kommutasjonsloven: 3 + 2 = 2 + 3. D 4 er ikke Abelian. Hvis du roterer en firkant og deretter vipper den horisontalt, beveger du ikke hjørnene på samme måte som å vende den og deretter rotere den.

Når du jobber i ikke-kommutative grupper, bruker matematikere vanligvis en * for å beskrive operasjonen. Et lite arbeid viser at å rotere torget og deretter vende det horisontalt, r * h , er det samme som å snu det over sin nedadgående diagonal. Dermed r * h = d d . Å snu firkanten og deretter rotere det tilsvarer å snu den over sin oppadgående diagonal, så r * h = d u .

Orden betyr noe i D 4 , så man må være mer presis når man beskriver koseter. Når du arbeider i heltalene, er uttrykket “koset til 7 Z generert av 3” entydig fordi det ikke spiller noen rolle om 3 legges til venstre eller høyre for hver multiplum av 7. For en undergruppe av D 4 er imidlertid forskjellige bestillinger vil opprette forskjellige koseter. Basert på beregningene som er beskrevet tidligere, r * H , er den venstre koseten til H generert av r — lik { r, d d } men H * r er lik ( r, d u }. Kravet om at ingen element er i to forskjellige koseter gjør det gjelder ikke når du sammenligner høyre kosmetikk med venstre koset.

De høyre kosetningene til H samsvarer ikke med de venstre kosettene. Ikke alle undergrupper av D 4 deler denne eiendommen. Man kan vurdere undergruppen R for alle rotasjoner på kvadratet, R = { e, r, r 2 , r 3 }.

En liten beregning viser at dens venstre kosmet er de samme som høyre høyre. En slik undergruppe kalles en normal undergruppe. Normale undergrupper er ekstremt viktige i abstrakt algebra fordi de alltid koder for ekstra informasjon. For eksempel tilsvarer de to mulige kosetningene til R de to mulige situasjonene “kvadratet har blitt vendt” og “kvadratet har ikke blitt vendt.”

ANDRE SPRÅK

Hjalp denne artikkelen deg? Takk for tilbakemeldingen Takk for tilbakemeldingen

Hvordan kan vi hjelpe? Hvordan kan vi hjelpe?