Was ist ein Coset?
Ein Coset ist eine bestimmte Art der Teilmenge einer mathematischen Gruppe. Zum Beispiel könnte man den Satz aller integralen Vielfachen von 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...} betrachten, was als 7 z bezeichnet werden kann. Das Hinzufügen von 3 zu jeder Zahl erzeugt den Satz {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, den Mathematiker als 7 z + 3. Dieser letztere Satz beschreiben, wird als Coset von 7 z generiert durch 3. Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 7 ist, ist dies auch ihre additive inverse. Die additive Inverse von 7 beträgt -7, die additive Umkehrung von 14 beträgt -14 und so weiter. Das Hinzufügen eines Mehrfaches von 7 zu einem anderen von 7 ergibt ein Vielfaches von 7. Mathematiker beschreiben dies, indem sie sagen, dass die Vielfachen von 7 unter der Ergänzung „geschlossen“ werden. Nur Untergruppen haben Cosets. Die Menge aller Kubiknummern, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, hat keine Cosets auf die gleiche Weise wie 7 z , da es nicht unter Hinzufügung geschlossen ist: 1 + 8 = 9 und 9 ist keine Kubikzahl. In ähnlicher Weise hat der Satz aller positiven gleichmäßigen Zahlen, {2, 4, 6, ...}, keine Cosets, da es keine Inversen enthält.
Der Grund für diese Bestimmungen ist, dass jede Zahl in genau einem Coset sein sollte. Im Fall von {2, 4, 6, ...} befindet sich 6 im von 4 erzeugten Coset und befindet sich im von 2 erzeugten Coset, aber diese beiden Cosets sind nicht identisch. Diese beiden Kriterien sind ausreichen, um sicherzustellen, dass sich jedes Element in genau einem Coset befindet.
Cosets existieren in jeder Gruppe, und einige Gruppen sind weitaus komplizierter als die Ganzzahlen. Eine nützliche Gruppe, die man in Betracht ziehen könnte, ist die Menge aller Möglichkeiten, ein Quadrat zu bewegen, ohne die Region zu ändern, die sie abdeckt. Wenn ein Quadrat um 90 Grad gedreht wird, gibt es keine offensichtliche Formänderung. Ebenso kann es flip werdenPED vertikal, horizontal oder über die diagonale, ohne den Bereich zu ändern, den die Quadrate abdeckt. Mathematiker nennen diese Gruppe d 4 .
d 4 hat acht Elemente. Zwei Elemente werden als identisch angesehen, wenn sie alle Ecken an derselben Stelle lassen. Daher wird das viere Mal im Uhrzeigersinn das gleiche wie nichts angesehen. In diesem Sinne können die acht Elemente mit E, R, R 2 , r 3 , v, h, d d , und d d bezeichnet werden. Das " e " bezieht sich auf nichts, und " r 2 " bezeichnet zwei Rotationen. Jedes der letzten vier Elemente bezieht sich auf das Quadrat: vertikal, horizontal oder entlang seiner Diagonalen nach oben oder unten.
Die Ganzzahlen sind eine Abelian -Gruppe, was bedeutet, dass ihre Operation das kommutative Gesetz erfüllt: 3 + 2 = 2 + 3. d 4 ist nicht abelian. Ein Quadrat drehen und dann horizontal umdrehenIch bewege die Ecken auf die gleiche Weise wie umzudrehen und dann zu drehen.
Bei der Arbeit in nichtkommutativen Gruppen verwenden Mathematiker typischerweise a *, um die Operation zu beschreiben. Ein wenig Arbeit zeigt, dass das Drehen des Quadrats und das Umdrehen des Horizontales, r * h das gleiche ist, wie es über seine Abwärtsdiagonale umdreht. Somit r * h = d d . Drehen Sie das Quadrat und drehen Sie es dann gleichbedeutend mit dem Umdrehen über seine nach oben diagonale, also r * H = D u .
Ordnung ist in d 4 wichtig, sodass man bei der Beschreibung von Cosets präziser sein muss. Bei der Arbeit in den Ganzzahlen ist der Phrase „Der Coset von 7 z , der durch 3“ erzeugt wird, eindeutig, da es nicht spielt, ob 3 links oder rechts von jedem Vielfachen von 7 hinzugefügt wird. Für eine Untergruppe von d 4 erzeugen verschiedene Bestellungen unterschiedliche Bestellungen unterschiedliche Cosets. Basierend auf den Berechnungen beschreiben früherSatz von h durch r - Äquals { r, d d }, aber h * r gleich ( r, d u }}. Die Anforderung, dass kein Element in zwei verschiedenen Cosets nicht gelten.
Die rechten Cosets von h stimmen nicht mit seinen linken Cosets überein. Nicht alle Untergruppen von d 4 teilen diese Eigenschaft. Man kann die Untergruppe r aller Rotationen des Quadrats, r = { e, r, r 2 , r 3 }.
Eine kleine Berechnung zeigt, dass seine linken Cosets mit ihren rechten Cosets übereinstimmen. Eine solche Untergruppe wird als normale Untergruppe bezeichnet. Normale Untergruppen sind in abstrakter Algebra äußerst wichtig, da sie immer zusätzliche Informationen codieren. Zum Beispiel entsprechen die beiden möglichen Kosets von r den beiden möglichen Situationen „Das Quadrat wurde umgedreht“ und „Das Quadrat wurde nicht umgedreht“.