Was ist ein Coset?
Eine Nebenmenge ist eine bestimmte Art von Teilmenge einer mathematischen Gruppe. Beispielsweise könnte man die Menge aller ganzzahligen Vielfachen von 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...} betrachten, die als 7 Z bezeichnet werden kann . Die Addition von 3 zu jeder Zahl ergibt die Menge {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, die Mathematiker als 7 Z + 3 bezeichnen. Diese letztere Menge wird die von 3 erzeugte Menge von 7 Z genannt .
Es gibt zwei wichtige Eigenschaften von 7 Z. Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 7 ist, ist auch ihre additive Inverse. Die Additivumkehrung von 7 ist -7, die Additivumkehrung von 14 ist -14 und so weiter. Auch das Addieren eines Vielfachen von 7 zu einem anderen Vielfachen von 7 ergibt ein Vielfaches von 7. Mathematiker beschreiben dies, indem sie sagen, dass die Vielfachen von 7 unter der Operation des Addierens "geschlossen" sind.
Diese beiden Eigenschaften sind der Grund, warum 7 Z eine Untergruppe der zu addierenden ganzen Zahlen genannt wird. Nur Untergruppen haben Nebenmengen. Die Menge aller kubischen Zahlen {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...} hat nicht die gleichen Nebenmengen wie 7 Z, da sie nicht unter Addition geschlossen wird : 1 + 8 = 9 und 9 ist keine kubische Zahl. Ebenso enthält die Menge aller positiven geraden Zahlen {2, 4, 6, ...} keine Nebenmengen, da sie keine Inversen enthält.
Der Grund für diese Bestimmungen ist, dass sich jede Zahl in genau einem Coset befinden sollte. Im Fall von {2, 4, 6, ...} befindet sich 6 in der von 4 erzeugten Nebenmenge und in der von 2 erzeugten Nebenmenge, aber diese beiden Nebenmengen sind nicht identisch. Diese beiden Kriterien reichen aus, um sicherzustellen, dass sich jedes Element in genau einem Nebeneinander befindet.
Koseten existieren in jeder Gruppe und einige Gruppen sind weitaus komplizierter als die ganzen Zahlen. Eine nützliche Gruppe, die man in Betracht ziehen könnte, ist die Menge aller Möglichkeiten, ein Quadrat zu verschieben, ohne den Bereich zu ändern, den es abdeckt. Wenn ein Quadrat um 90 Grad gedreht wird, ist keine Änderung der Form erkennbar. Ebenso kann es vertikal, horizontal oder diagonal gespiegelt werden, ohne den Bereich zu ändern, den das Quadrat abdeckt. Mathematiker nennen diese Gruppe D 4 .
D 4 hat acht Elemente. Zwei Elemente gelten als identisch, wenn sie alle Ecken an derselben Stelle belassen. Wenn Sie also das Quadrat viermal im Uhrzeigersinn drehen, bedeutet dies, dass Sie nichts tun. In diesem Sinne können die acht Elemente mit e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d und d d bezeichnet werden . Das " e " bedeutet nichts zu tun, und " r 2 " bedeutet zwei Umdrehungen. Jedes der letzten vier Elemente bezieht sich auf das Spiegeln des Quadrats: vertikal, horizontal oder entlang seiner nach oben oder unten geneigten Diagonalen.
Die ganzen Zahlen sind eine abelsche Gruppe, was bedeutet, dass ihre Operation das kommutative Gesetz erfüllt: 3 + 2 = 2 + 3. D 4 ist nicht abelsch. Wenn Sie ein Quadrat drehen und dann horizontal spiegeln, werden die Ecken nicht so verschoben, wie wenn Sie es spiegeln und anschließend drehen.
Bei der Arbeit in nicht kommutativen Gruppen verwenden Mathematiker normalerweise ein *, um die Operation zu beschreiben. Eine kleine Arbeit zeigt, dass das Drehen des Quadrats und das anschließende horizontale Spiegeln r * h dasselbe ist wie das Spiegeln über die Diagonale nach unten. Also ist r * h = d d . Das Kippen und Drehen des Quadrats entspricht dem Kippen über seine Aufwärtsdiagonale, also ist r * h = du .
Da es in D 4 auf die Reihenfolge ankommt, muss man bei der Beschreibung von Nebenmengen präziser vorgehen. Bei der Arbeit mit den ganzen Zahlen ist der Ausdruck "der von 3 erzeugte Nebenwert von 7 Z " eindeutig, da es nicht wichtig ist, ob 3 links oder rechts von jedem Vielfachen von 7 hinzugefügt wird. Für eine Untergruppe von D 4 jedoch unterschiedlich Bestellungen werden verschiedene Koseten erstellen. Basierend auf den oben beschriebenen Berechnungen ist r * H die linke Nebenmenge von H, die von r - erzeugt wird, gleich { r, d d }, aber H * r ist gleich ( r, du }. Die Voraussetzung, dass sich kein Element in zwei verschiedenen Nebenmengen befindet, ist erfüllt gilt nicht für den Vergleich von rechten und linken Nebenwerten.
Die rechten Nebenmengen von H stimmen nicht mit den linken Nebenmengen überein. Nicht alle Untergruppen von D 4 teilen diese Eigenschaft. Man kann die Untergruppe R aller Rotationen des Quadrats betrachten, R = { e, r, r 2 , r 3 }.
Eine kleine Rechnung zeigt, dass die linken Nebenmengen mit den rechten Nebenmengen identisch sind. Eine solche Untergruppe wird als normale Untergruppe bezeichnet. Normale Untergruppen sind in der abstrakten Algebra äußerst wichtig, da sie immer zusätzliche Informationen codieren. Zum Beispiel entsprechen die zwei möglichen Nebenwerte von R den zwei möglichen Situationen "das Quadrat wurde gespiegelt" und "das Quadrat wurde nicht gespiegelt".