Cos'è un Coset?

Un Coset è un tipo specifico di sottoinsieme di un gruppo matematico. Ad esempio, si potrebbe considerare l'insieme di tutti i multipli integrali di 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, che possono essere indicati come 7 z . L'aggiunta di 3 a ciascun numero genera l'insieme {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, che i matematici descrivono come 7 z + 3. Quest'ultimo set è chiamato Coset di 7 z generato da 3.

Ci sono due importanti proprietà di 7 z . Se un numero è un multiplo di 7, anche il suo inverso additivo. L'inverso additivo di 7 è -7, l'inverso additivo di 14 è -14 e così via. Inoltre, l'aggiunta di un multiplo di 7 a un altro multiplo di 7 produce un multiplo di 7. I matematici descrivono questo dicendo che i multipli di 7 sono "chiusi" sotto il funzionamento dell'aggiunta.

Queste due caratteristiche sono il motivo per cui 7 z è chiamato sottogruppo degli interi in aggiunta. Solo i sottogruppi hanno costieri. L'insieme di tutti i numeri cubici, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, non ha costieri allo stesso modo di 7 z perché non è chiuso in aggiunta: 1 + 8 = 9 e 9 non è un numero cubico. Allo stesso modo, l'insieme di tutti i numeri pari positivi, {2, 4, 6, ...}, non ha costieri perché non contiene inversa.

Il motivo di queste clausole è che ogni numero dovrebbe essere esattamente in un Coset. Nel caso di {2, 4, 6, ...}, 6 è nel Coset generato da 4 ed è nel Coset generato da 2, ma quei due costit non sono identici. Questi due criteri sono sufficienti per garantire che ogni elemento sia esattamente in un Coset.

Cosets esistono in qualsiasi gruppo e alcuni gruppi sono molto più complicati dei numeri interi. Un gruppo utile che si potrebbe considerare è l'insieme di tutti i modi per spostare un quadrato senza cambiare la regione che copre. Se un quadrato viene ruotato di 90 gradi, non vi è alcun cambiamento apparente nella forma. Allo stesso modo, può essere capovoltoPed verticalmente, orizzontale o attraverso la diagonale senza cambiare la regione il quadrato copre. I matematici chiamano questo gruppo d ₄ .

d ₄ ha otto elementi. Due elementi sono considerati identici se lasciano tutti gli angoli nello stesso posto, quindi ruotare il quadrato in senso orario quattro volte è considerato lo stesso che non fare nulla. Con questo in mente, gli otto elementi possono essere indicati e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , e d d . " e " si riferisce a non fare nulla e " r 2 " indica fare due rotazioni. Ognuno degli ultimi quattro elementi si riferisce a lanciare il quadrato: verticalmente, orizzontalmente o lungo le sue diagonali a squarciagola verso l'alto o verso il basso.

I numeri interi sono un gruppo abeliano, il che significa che il suo funzionamento soddisfa la legge commutativa: 3 + 2 = 2 + 3. d _{4 non è abeliano. Ruotare un quadrato e poi lanciarlo in orizzontale not spostare gli angoli allo stesso modo di capovolgerlo e quindi ruotarlo.}

Quando si lavora in gruppi non commutativi, i matematici usano in genere un * per descrivere l'operazione. Un po 'di lavoro mostra che ruotando il quadrato e poi lanciandolo in orizzontale, r * h , è lo stesso che sfogliarlo attraverso la sua diagonale verso il basso. Pertanto r * h = d d . Fare il quadrato e quindi ruotare è equivalente a sfogliarlo attraverso la sua diagonale verso l'alto, quindi r * h = d u .

L'ordine è importante in d ₄ , quindi bisogna essere più precisi quando si descrivono i costi. Quando si lavora nei numeri interi, la frase "il Coset di 7 z generato da 3" è inequivocabile perché non importa se 3 venga aggiunto a sinistra o a destra di ogni multiplo di 7. Per un sottogruppo di d 4 , tuttavia, diversi ordini creerà costieri diversi. Sulla base dei calcoli Descrivere in precedenza, r * h , la sinistra coInsieme di h generato da r - equals { r, d _d } ma h * r è uguale ( r, d _u }. Il requisito che nessun elemento è in due diversi COSET non si applicano quando si confrontano i costi di destra a sinistra.

I costi giusti di h non corrispondono ai costieri sinistro. Non tutti i sottogruppi di d ₄ condividono questa proprietà. Si può considerare il sottogruppo r di tutte le rotazioni del quadrato, r = { e, r, r 2 , r 3 .

Un piccolo calcolo mostra che i suoi costieri sinistro sono uguali ai suoi costieri giusti. Tale sottogruppo è chiamato sottogruppo normale. I sottogruppi normali sono estremamente importanti nell'algebra astratta perché codificano sempre informazioni aggiuntive. Ad esempio, i due possibili costi di r equivalgono alle due possibili situazioni "La piazza è stata lanciata" e "la piazza non è stata capovolta."