Che cos'è un coset?
Un coset è un tipo specifico di sottoinsieme di un gruppo matematico. Ad esempio, si potrebbe considerare l'insieme di tutti i multipli integrali di 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, che può essere indicato come 7 Z. L'aggiunta di 3 a ciascun numero genera l'insieme {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, che i matematici descrivono come 7 Z + 3. Quest'ultimo insieme è chiamato il coset di 7 Z generato da 3 .
Ci sono due proprietà importanti di 7 Z. Se un numero è un multiplo di 7, lo è anche il suo additivo inverso. L'inverso dell'additivo di 7 è -7, l'inverso dell'additivo di 14 è -14 e così via. Inoltre, l'aggiunta di un multiplo di 7 ad un altro multiplo di 7 produce un multiplo di 7. I matematici descrivono questo dicendo che i multipli di 7 sono "chiusi" sotto l'operazione di addizione.
Queste due caratteristiche sono il motivo per cui 7 Z è chiamato un sottogruppo degli interi in aggiunta. Solo i sottogruppi hanno cosets. L'insieme di tutti i numeri cubici, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, non ha coset allo stesso modo di 7 Z perché non è chiuso in aggiunta : 1 + 8 = 9 e 9 non è un numero cubico. Allo stesso modo, l'insieme di tutti i numeri pari positivi, {2, 4, 6, ...}, non ha cosets perché non contiene inversioni.
La ragione di queste clausole è che ogni numero dovrebbe essere esattamente in un coset. Nel caso di {2, 4, 6, ...}, 6 è nel coset generato da 4 ed è nel coset generato da 2, ma quei due coset non sono identici. Questi due criteri sono sufficienti per garantire che ogni elemento si trovi esattamente in un coset.
I costi esistono in qualsiasi gruppo e alcuni gruppi sono molto più complicati degli interi. Un gruppo utile che si potrebbe considerare è l'insieme di tutti i modi per spostare un quadrato senza cambiare la regione che copre. Se un quadrato viene ruotato di 90 gradi, non vi è alcun cambiamento evidente nella forma. Allo stesso modo, può essere capovolto verticalmente, orizzontalmente o attraverso entrambe le diagonali senza cambiare la regione delle coperture quadrate. I matematici chiamano questo gruppo D 4 .
D 4 ha otto elementi. Due elementi sono considerati identici se lasciano tutti gli angoli nello stesso posto, quindi ruotare il quadrato in senso orario di quattro volte è considerato uguale a non fare nulla. Tenendo presente ciò, gli otto elementi possono essere indicati con e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d e d d . La " e " si riferisce a non fare nulla e " r 2 " indica di fare due rotazioni. Ognuno degli ultimi quattro elementi si riferisce al capovolgere il quadrato: verticalmente, orizzontalmente o lungo le sue diagonali inclinate verso l'alto o verso il basso.
I numeri interi sono un gruppo abeliano, il che significa che il suo funzionamento soddisfa la legge commutativa: 3 + 2 = 2 + 3. D 4 non è abeliano. Ruotare un quadrato e poi capovolgerlo orizzontalmente non sposta gli angoli allo stesso modo di capovolgerlo e quindi ruotarlo.
Quando lavorano in gruppi non commutativi, i matematici in genere usano un * per descrivere l'operazione. Un piccolo lavoro mostra che ruotare il quadrato e poi capovolgerlo orizzontalmente, r * h , equivale a capovolgerlo attraverso la diagonale verso il basso. Quindi r * h = d d . Capovolgere il quadrato e quindi ruotarlo equivale a capovolgerlo attraverso la diagonale verso l'alto, quindi r * h = d u .
L'ordine è importante in D 4 , quindi bisogna essere più precisi quando si descrivono i cosets. Quando si lavora in numeri interi, la frase "il coset di 7 Z generato da 3" è inequivocabile perché non importa se 3 viene aggiunto a sinistra o a destra di ciascun multiplo di 7. Per un sottogruppo di D 4 , tuttavia, diverso gli ordini creeranno cosets diversi. Sulla base dei calcoli descritti in precedenza, r * H , il coset di sinistra di H generato da r — è uguale a { r, d d } ma H * r è uguale a ( r, d u }. Il requisito secondo cui nessun elemento deve trovarsi in due diversi coset fa non si applica quando si confrontano i cosets di destra con i coset di sinistra.
I cosets di destra di H non corrispondono ai suoi coset di sinistra. Non tutti i sottogruppi di D 4 condividono questa proprietà. Si può considerare il sottogruppo R di tutte le rotazioni del quadrato, R = { e, r, r 2 , r 3 }.
Un piccolo calcolo mostra che i suoi cosets di sinistra sono gli stessi dei suoi cosets di destra. Tale sottogruppo è chiamato un sottogruppo normale. I sottogruppi normali sono estremamente importanti nell'algebra astratta perché codificano sempre informazioni aggiuntive. Ad esempio, i due possibili cosets di R equivalgono alle due possibili situazioni "il quadrato è stato capovolto" e "il quadrato non è stato capovolto".