Co to jest coset?

COSET jest specyficznym rodzajem podzbioru grupy matematycznej. Na przykład można rozważyć zestaw wszystkich integralnych wielokrotności 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, które można oznaczyć jako 7 z . Dodanie 3 do każdej liczby generuje zestaw {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, który matematycy opisują jako 7 z + 3. Ten ostatni zestaw nazywa się coset 7 z wygenerowane o 3.

Istnieją dwa ważne właściwości 7 z . Jeśli liczba to wielokrotność 7, podobnie jest jego adwentatem. Dodatkową odwrotność 7 wynosi -7, odwrotność addytywna 14 to -14 i tak dalej. Ponadto, dodanie wielokrotności 7 do innej wielokrotności 7 daje wielokrotność 7. Matematycy opisują to, mówiąc, że wielokrotności 7 są „zamknięte” w ramach eksploatacji dodawania.

Te dwie cechy są powodem, dla którego 7 z nazywa się podgrupą liczb całkowitych. Tylko podgrupy mają cosets. Zestaw wszystkich liczb sześciennych, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, nie ma cosetów w taki sam sposób jak 7 z , ponieważ nie jest zamknięty pod dodatkiem: 1 + 8 = 9, a 9 nie jest liczbą sześcienną. Podobnie, zestaw wszystkich dodatnich liczb równych, {2, 4, 6, ...}, nie ma cosetów, ponieważ nie zawiera inverses.

Przyczyną tych postanowień jest to, że każda liczba powinna znajdować się dokładnie w jednym coset. W przypadku {2, 4, 6, ...}, 6 jest w coset generowanym przez 4 i jest w coset generowanym przez 2, ale te dwa coset nie są identyczne. Te dwa kryteria wystarczą, aby zapewnić, że każdy element znajduje się dokładnie jeden coset.

Cosety istnieją w dowolnej grupie, a niektóre grupy są znacznie bardziej skomplikowane niż liczby całkowite. Przydatną grupą, którą można rozważyć, jest zestaw wszystkich sposobów poruszania kwadratu bez zmiany regionu, który pokrywa. Jeśli kwadrat jest obrócony o 90 stopni, nie ma widocznej zmiany kształtu. Podobnie można go odwrócićPed pionowo, poziomo lub w przekątnej bez zmiany regionu, kwadratowe pokrycia. Matematycy nazywają tę grupę d 4 .

d ₄ ma osiem elementów. Dwa elementy są uważane za identyczne, jeśli opuszczają wszystkie narożniki w tym samym miejscu, więc czterokrotnie obracanie kwadratowego kwadratu zgodnie z ruchem wskazówek zegara jest uważane za takie samo jak nic nie robienie. Mając to na uwadze, ośmiu elementów można oznaczyć E, R, R ^{2 , R 3 , V, H, H, D ,} i D d . „ e ” odnosi się do robienia nic, a „ r ² ” oznacza dwa rotacje. Każdy z ostatnich czterech elementów odnosi się do przerzucania kwadratu: pionowo, poziomo lub wzdłuż jego przekątnej w górę lub w dół.

Liczby całkowite są grupą abelową, co oznacza, że ​​jej działanie spełnia prawo do pracy: 3 + 2 = 2 + 3. d _{4 nie jest abelianem. Obracanie kwadratu, a następnie odwrócenie go w poziomie nieT poruszaj rogami w taki sam sposób, jak go odwrócenie, a następnie obracam.}

Pracując w grupach niekomutacyjnych, matematycy zwykle używają * do opisania operacji. Mała praca pokazuje, że obracanie kwadratu, a następnie odwracanie go w poziomie, r * H , jest to samo, co przerzucanie go po przekątnej w dół. Zatem r * h = d d . Odwracanie kwadratu, a następnie obracanie, jest równoważne przerzucaniu go po przekątnej w górę, więc r * H = D _u .

Zamów ma znaczenie w d 4 , więc należy być bardziej precyzyjnie opisując COSET. Podczas pracy w liczbach całkowitych wyrażenie „coset 7 z wygenerowane przez 3” jest jednoznaczne, ponieważ nie ma znaczenia, czy 3 jest dodawane po lewej, czy prawej stronie każdej wielokrotności 7. Dla podgrupy d _{4 , jednak różne zamówienia stworzą różne coset. Na podstawie obliczeń opisuje wcześniej, r * H , lewy COZestaw H wygenerowane przez r - Equals { r, d d } Ale H **r równa się ( r, d u }. Wymaganie, że żaden element nie ma zastosowania w dwóch różnych cosetach, gdy porównywano prawicowe od lewej coss. }.}

PRAWE COSETY H nie pasują do lewych cosetów. Nie wszystkie podgrupy d 4 udostępniają tę właściwość. Można rozważyć podgrupę r wszystkich obrotów kwadratu, r = { e, r, r ² , r 3 }.

.

Małe obliczenia pokazują, że jego lewe cosety są takie same jak prawe cosety. Taka podgrupa nazywa się normalną podgrupą. Normalne podgrupy są niezwykle ważne w algebrze abstrakcyjnej, ponieważ zawsze kodują dodatkowe informacje. Na przykład dwa możliwe cosety r są równoznaczne z dwoma możliwymi sytuacjami „kwadrat został odwrócony” i „kwadrat nie został odwrócony”.