Co to jest Coset?
Coset jest szczególnym rodzajem podzbioru grupy matematycznej. Na przykład, można rozważyć zbiór wszystkich całkowitych wielokrotności 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, które można oznaczyć jako 7 Z. Dodanie 3 do każdej liczby generuje zbiór {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, który matematycy opisują jako 7 Z + 3. Ten ostatni zestaw nazywa się zbiorem 7 Z wygenerowanym przez 3 .
Istnieją dwie ważne właściwości 7 Z. Jeśli liczba jest wielokrotnością liczby 7, to jej addytyw jest odwrotny. Odwrotność addytywna 7 wynosi -7, odwrotność addytywna 14 wynosi -14 i tak dalej. Również dodanie wielokrotności 7 do kolejnej wielokrotności 7 daje wielokrotność 7. Matematycy opisują to, mówiąc, że wielokrotności 7 są „zamknięte” podczas operacji dodawania.
Te dwie cechy powodują, że 7 Z nazywane jest dodatkowo podgrupą liczb całkowitych. Tylko podgrupy mają cosety. Zbiór wszystkich liczb sześciennych {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...} nie ma cosetów w taki sam sposób jak 7 Z, ponieważ nie jest zamykany przy dodawaniu : 1 + 8 = 9, a 9 nie jest liczbą sześcienną. Podobnie zbiór wszystkich dodatnich liczb parzystych {2, 4, 6, ...} nie ma cosetów, ponieważ nie zawiera odwrotności.
Powodem tych postanowień jest to, że każda liczba powinna znajdować się dokładnie w jednym cosecie. W przypadku {2, 4, 6, ...} 6 znajduje się w cosecie wygenerowanym przez 4 i jest w cosecie wygenerowanym przez 2, ale te dwa cosety nie są identyczne. Te dwa kryteria wystarczają, aby zapewnić, że każdy element znajduje się dokładnie w jednym zbiorze.
Cosety istnieją w dowolnej grupie, a niektóre grupy są znacznie bardziej skomplikowane niż liczby całkowite. Przydatną grupą, którą można rozważyć, jest zestaw wszystkich sposobów przesuwania kwadratu bez zmiany regionu, który obejmuje. Jeśli kwadrat zostanie obrócony o 90 stopni, nie będzie widocznej zmiany kształtu. Podobnie można go obrócić w pionie, w poziomie lub w poprzek dowolnej przekątnej, bez zmiany regionu, który obejmuje kwadrat. Matematycy nazywają tę grupę D 4 .
D 4 ma osiem elementów. Dwa elementy są uważane za identyczne, jeśli zostawiają wszystkie rogi w tym samym miejscu, więc czterokrotne obrócenie kwadratu zgodnie z ruchem wskazówek zegara uważa się za nie robienie niczego. Mając to na uwadze, osiem elementów można oznaczyć e, r, r 2 , r 3 , v, h, dd i dd . „ E ” oznacza brak robienia, a „ r 2 ” oznacza wykonanie dwóch obrotów. Każdy z czterech ostatnich elementów odnosi się do obrócenia kwadratu: pionowo, poziomo lub wzdłuż nachylonych w górę lub w dół ukośnych przekątnych.
Liczby całkowite są grupą abelową, co oznacza, że jej działanie jest zgodne z prawem przemiennym: 3 + 2 = 2 + 3. D 4 nie jest abelem. Obrócenie kwadratu, a następnie obrócenie go w poziomie nie powoduje przesunięcia narożników w taki sam sposób, jak obrócenie go, a następnie obrócenie.
Pracując w grupach nieprzemiennych, matematycy zwykle używają * do opisania operacji. Mała praca pokazuje, że obrócenie kwadratu, a następnie obrócenie go w poziomie, r * h , jest tym samym, co obrócenie go w poprzek jego przekątnej w dół. Zatem r * h = d d . Odwrócenie kwadratu, a następnie obrócenie go jest równoważne z odwróceniem go w poprzek jego przekątnej w górę, więc r * h = d u .
Porządek ma znaczenie w D 4 , więc trzeba być bardziej precyzyjnym przy opisywaniu cosetów. Podczas pracy w liczbach całkowitych wyrażenie „zbiór 7 Z wygenerowany przez 3” jest jednoznaczny, ponieważ nie ma znaczenia, czy 3 jest dodawane po lewej czy po prawej stronie każdej wielokrotności 7. Jednak dla podgrupy D 4 różne zamówienia stworzą różne cosety. Na podstawie obliczeń opisanych wcześniej, r * H , lewy zbiór H wygenerowany przez r — równa się { r, d d }, ale H * r jest równy ( r, d u }). Wymóg, aby żaden element nie był w dwóch różnych coset nie dotyczy, gdy porównujesz prawe mankiety z lewymi mankietami.
Prawy ściągacz H nie pasuje do lewego ściągacza. Nie wszystkie podgrupy D 4 mają tę samą właściwość. Można rozważyć podgrupę R wszystkich obrotów kwadratu, R = { e, r, r 2 , r 3 }.
Trochę obliczeń pokazuje, że lewe mankiety są takie same jak prawe mankiety. Taka podgrupa nazywana jest normalną podgrupą. Normalne podgrupy są niezwykle ważne w algebrze abstrakcyjnej, ponieważ zawsze kodują dodatkowe informacje. Na przykład dwie możliwe cosety R odpowiadają dwóm możliwym sytuacjom: „kwadrat został odwrócony” i „kwadrat nie został odwrócony”.