¿Qué es un espacio de fase?

Un espacio de fase es una abstracción que los físicos usan para visualizar y estudiar sistemas; Cada punto en este espacio virtual representa un solo estado posible del sistema o una de sus partes. Estos estados generalmente están determinados por el conjunto de variables dinámicas relevantes para la evolución del sistema. Los físicos encuentran espacio de fase especialmente útil para analizar sistemas mecánicos, como péndula, planetas que orbitan una estrella central o masas conectadas por resortes. En estos contextos, el estado de un objeto está determinado por su posición y velocidad o, de manera equivalente, su posición e impulso. El espacio de fase también puede usarse para estudiar sistemas no clásicos, e incluso no deterministas, como los que se encuentran en la mecánica cuántica.

Una masa que se mueve hacia arriba y hacia abajo en un resorte proporciona un ejemplo concreto de un sistema mecánico adecuado para ilustrar espacio de fase. El movimiento de la masa está determinado por cuatro factores: la longitud del resorte, la rigidez del resorte, el peso de la masay la velocidad de la masa. Solo el primero y el último de estos cambian con el tiempo, suponiendo que se ignoren los minuciosos cambios en la fuerza de la gravedad. Por lo tanto, el estado del sistema en cualquier momento dado se determina únicamente por la longitud del resorte y la velocidad de la masa.

Si alguien baja la masa hacia abajo, el resorte podría estirarse a una longitud de 10 pulgadas (25.4 cm). Cuando se suelta la masa, está momentáneamente en reposo, por lo que su velocidad es 0 en/s. El estado del sistema en este momento puede describirse como (10 pulgadas, 0 in/s) o (25.4 cm, 0 cm/s).

La masa acelera hacia arriba al principio y luego se ralentiza a medida que el resorte se comprime. La masa puede dejar de ascender cuando el resorte mide 6 pulgadas (15.2 cm) de largo. En ese momento, la masa está una vez más en reposo, por lo que el estado del sistema puede describirse como (6 in, 0 in/s) o (15.2 cm, 0 cm/s).

En los puntos finales, la masa tiene velocidad cero, por lo que esNo sorprendente que se mueva más rápido en la mitad de ellos, donde la longitud del resorte es de 8 pulgadas (20.3 cm). Se podría suponer que la velocidad de la masa en ese punto es 4 in/s (10.2 cm/s). Al pasar el punto medio en su camino hacia arriba, el estado del sistema puede describirse como (8 in, 4 in/s) o (20.3 cm, 10.2 cm/s). En el camino hacia abajo, la masa se moverá en la dirección hacia abajo, por lo que el estado del sistema en ese punto es (8 in, -4 in/s) o (20.3 cm, -10.2 cm/s).

Gráfica de estos y otros estados, las experiencias del sistema producen una elipse que retrata la evolución del sistema. Tal gráfico se llama gráfico de fase. La trayectoria específica a través de la cual pasa un sistema en particular es su órbita.

Si la masa hubiera sido derribada aún más al principio, la figura trazada en el espacio de fase sería una elipse más grande. Si la masa se había liberado en el punto de equilibrio, el punto donde la fuerza del resorte cancela exactamente la fuerza de la gravedad, elLa masa se quedaría en su lugar. Este sería un solo punto en el espacio de fase. Por lo tanto, se puede ver que las órbitas de este sistema son elipses concéntricos.

El ejemplo de masa en una primavera ilustra un aspecto importante de los sistemas mecánicos definidos por un solo objeto: es imposible que dos órbitas se cruzen. Las variables que representan el estado del objeto determinan su futuro, por lo que solo puede haber una ruta y una ruta fuera de cada punto en su órbita. Por lo tanto, las órbitas no pueden cruzar entre sí. Esta propiedad es extremadamente útil para analizar sistemas utilizando espacio de fase.