Wat is een faseruimte?

Een faseruimte is een abstractie die fysici gebruiken om systemen te visualiseren en te bestuderen; elk punt in deze virtuele ruimte vertegenwoordigt een enkele mogelijke status van het systeem of een van zijn onderdelen. Deze toestanden worden meestal bepaald door de set dynamische variabelen die relevant zijn voor de evolutie van het systeem. Natuurkundigen vinden faseruimte vooral nuttig voor het analyseren van mechanische systemen, zoals pendels, planeten die rond een centrale ster draaien of massa's verbonden door veren. In deze context wordt de staat van een object bepaald door zijn positie en snelheid of, evenzo, zijn positie en momentum. Faseruimte kan ook worden gebruikt om niet-klassieke - en zelfs niet-deterministische - systemen te bestuderen, zoals die in de kwantummechanica worden aangetroffen.

Een massa die op en neer beweegt op een veer levert een concreet voorbeeld van een mechanisch systeem dat geschikt is voor het illustreren van faseruimte. De beweging van de massa wordt bepaald door vier factoren: de lengte van de veer, de stijfheid van de veer, het gewicht van de massa en de snelheid van de massa. Alleen de eerste en laatste van deze veranderen in de loop van de tijd, ervan uitgaande dat kleine veranderingen in de zwaartekracht worden genegeerd. De toestand van het systeem op elk willekeurig moment wordt dus uitsluitend bepaald door de lengte van de veer en de snelheid van de massa.

Als iemand de massa naar beneden trekt, kan de veer zich uitstrekken tot een lengte van 25 cm. Wanneer de massa wordt losgelaten, is deze tijdelijk in rust, zodat de snelheid 0 in / s is. De status van het systeem op dit moment kan worden beschreven als (10 in, 0 in / s) of (25,4 cm, 0 cm / s).

De massa versnelt eerst omhoog en vertraagt ​​vervolgens naarmate de veer samendrukt. De massa kan stoppen met stijgen wanneer de veer 15,2 cm lang is. Op dat moment is de massa weer in rust, dus de toestand van het systeem kan worden beschreven als (6 in, 0 in / s) of (15,2 cm, 0 cm / s).

Op de eindpunten heeft de massa een snelheid van nul, dus het is niet verwonderlijk dat deze zich het snelst beweegt op de halverwege tussen hen, waar de lengte van de veer 20,3 cm is. Men zou kunnen aannemen dat de snelheid van de massa op dat punt 4 in / s (10,2 cm / s) is. Wanneer het middelpunt op zijn weg omhoog wordt gepasseerd, kan de toestand van het systeem worden beschreven als (8 in, 4 in / s) of (20,3 cm, 10,2 cm / s). Op weg naar beneden zal de massa in neerwaartse richting bewegen, dus de toestand van het systeem op dat punt is (8 in, -4 in / s) of (20,3 cm, -10,2 cm / s).

Grafisch deze en andere toestanden produceert het systeem een ​​ellips die de evolutie van het systeem weergeeft. Een dergelijke grafiek wordt een faseplot genoemd. Het specifieke traject waardoor een bepaald systeem passeert, is zijn baan.

Als de massa in het begin verder naar beneden was getrokken, zou de figuur in de faseruimte een grotere ellips zijn. Als de massa op het evenwichtspunt was losgelaten - het punt waar de kracht van de veer precies de zwaartekracht opheft - zou de massa op zijn plaats blijven. Dit zou een enkele stip in de faseruimte zijn. Aldus is te zien dat de banen van dit systeem concentrische ellipsen zijn.

Het voorbeeld van massa-op-een-veer illustreert een belangrijk aspect van mechanische systemen gedefinieerd door een enkel object: het is onmogelijk voor twee banen elkaar te kruisen. De variabelen die de status van het object vertegenwoordigen, bepalen de toekomst, dus er kan slechts één pad zijn naar en één pad vanuit elk punt op zijn baan. Daarom kunnen banen elkaar niet kruisen. Deze eigenschap is buitengewoon nuttig voor het analyseren van systemen die faseruimte gebruiken.