Che cos'è uno spazio di fase?
Uno spazio delle fasi è un'astrazione che i fisici usano per visualizzare e studiare i sistemi; ogni punto in questo spazio virtuale rappresenta un singolo stato possibile del sistema o una delle sue parti. Questi stati sono in genere determinati dall'insieme di variabili dinamiche rilevanti per l'evoluzione del sistema. I fisici trovano lo spazio delle fasi particolarmente utile per l'analisi di sistemi meccanici, come pendoli, pianeti in orbita attorno a una stella centrale o masse collegate da molle. In questi contesti, lo stato di un oggetto è determinato dalla sua posizione e velocità o, equivalentemente, dalla sua posizione e momento. Lo spazio delle fasi può anche essere usato per studiare sistemi non classici - e persino non deterministici - come quelli incontrati nella meccanica quantistica.
Una massa che si muove su e giù su una molla fornisce un esempio concreto di un sistema meccanico adatto per illustrare lo spazio delle fasi. Il movimento della massa è determinato da quattro fattori: la lunghezza della molla, la rigidità della molla, il peso della massa e la velocità della massa. Solo il primo e l'ultimo di questi cambiano nel tempo, supponendo che i piccoli cambiamenti nella forza di gravità vengano ignorati. Pertanto, lo stato del sistema in qualsiasi momento è determinato esclusivamente dalla lunghezza della molla e dalla velocità della massa.
Se qualcuno abbassa la massa, la molla potrebbe allungarsi per una lunghezza di 25,4 cm. Quando la massa viene lasciata andare, è momentaneamente a riposo, quindi la sua velocità è 0 in / s. Lo stato del sistema in questo momento può essere descritto come (10 in, 0 in / s) o (25,4 cm, 0 cm / s).
All'inizio la massa accelera verso l'alto e poi rallenta mentre la molla si comprime. La massa potrebbe smettere di salire quando la molla è lunga 6 pollici (15,2 cm). In quel momento, la massa è di nuovo a riposo, quindi lo stato del sistema può essere descritto come (6 in, 0 in / s) o (15,2 cm, 0 cm / s).
Ai punti finali, la massa ha velocità zero, quindi non sorprende che si muova più velocemente al segno a metà strada tra loro, dove la lunghezza della molla è di 8 pollici (20,3 cm). Si potrebbe supporre che la velocità della massa in quel punto sia 4 in / s (10,2 cm / s). Quando si passa il punto medio verso l'alto, lo stato del sistema può essere descritto come (8 pollici, 4 pollici / s) o (20,3 cm, 10,2 cm / s). Durante la discesa, la massa si sposterà verso il basso, quindi lo stato del sistema in quel punto è (8 pollici, -4 pollici / s) o (20,3 cm, -10,2 cm / s).
Rappresentando graficamente questi e altri stati, l'esperienza del sistema produce un'ellisse che illustra l'evoluzione del sistema. Tale grafico è chiamato un diagramma di fase. La traiettoria specifica attraverso cui passa un determinato sistema è la sua orbita.
Se la massa fosse stata ulteriormente ridotta all'inizio, la figura tracciata nello spazio delle fasi sarebbe un'ellisse più grande. Se la massa fosse stata rilasciata nel punto di equilibrio - il punto in cui la forza della molla annulla esattamente la forza di gravità - la massa rimarrebbe al suo posto. Questo sarebbe un singolo punto nello spazio delle fasi. Pertanto, si può vedere che le orbite di questo sistema sono ellissi concentriche.
L'esempio di massa su una molla illustra un aspetto importante dei sistemi meccanici definiti da un singolo oggetto: è impossibile che due orbite si intersecino. Le variabili che rappresentano lo stato dell'oggetto determinano il suo futuro, quindi può esserci solo un percorso in e un percorso fuori da ogni punto della sua orbita. Pertanto, le orbite non possono incrociarsi. Questa proprietà è estremamente utile per l'analisi di sistemi che utilizzano lo spazio delle fasi.