Qu'est-ce qu'un espace de phase?
Un espace de phase est une abstraction que les physiciens utilisent pour visualiser et étudier des systèmes. chaque point de cet espace virtuel représente un seul état possible du système ou de l'une de ses parties. Ces états sont généralement déterminés par l'ensemble des variables dynamiques pertinentes pour l'évolution du système. Les physiciens trouvent l’espace de phase particulièrement utile pour analyser des systèmes mécaniques, tels que des pendules, des planètes en orbite autour d’une étoile centrale ou des masses reliées par des ressorts. Dans ces contextes, l'état d'un objet est déterminé par sa position et sa vitesse ou, de manière équivalente, par sa position et son élan. L'espace de phase peut également être utilisé pour étudier des systèmes non classiques, voire non déterministes, tels que ceux rencontrés en mécanique quantique.
Une masse qui monte et descend sur un ressort fournit un exemple concret d'un système mécanique approprié pour illustrer l'espace de phase. Le mouvement de la masse est déterminé par quatre facteurs: la longueur du ressort, la raideur du ressort, le poids de la masse et la vitesse de la masse. Seuls le premier et le dernier de ceux-ci changent avec le temps, en supposant que les changements infimes de la force de gravité sont ignorés. Ainsi, l’état du système à un moment donné est uniquement déterminé par la longueur du ressort et la vitesse de la masse.
Si quelqu'un tire la masse vers le bas, le ressort peut s'étirer sur une longueur de 10 pouces (25,4 cm). Lorsque la masse est relâchée, elle est momentanément au repos, de sorte que sa vitesse est égale à 0 in / s. L’état actuel du système peut être décrit comme suit: (10 pouces, 0 pouces / s) ou (25,4 cm, 0 cm / s).
La masse accélère d'abord vers le haut, puis ralentit lorsque le printemps se comprime. La masse peut cesser de monter lorsque le ressort mesure 15,2 cm (6 pouces). À ce moment, la masse est à nouveau au repos, ce qui permet de décrire l'état du système en tant que (6 pouces, 0 pouces / s) ou (15,2 cm, 0 cm / s).
Aux points finaux, la masse a une vitesse nulle. Il n’est donc pas surprenant qu’elle se déplace plus rapidement à mi-chemin entre eux, la longueur du ressort étant de 20,3 cm (8 pouces). On pourrait supposer que la vitesse de la masse à ce point est de 10,2 cm / s (4 in / s). Lorsque vous passez le point médian vers le haut, l'état du système peut être décrit comme suit: (8 pouces, 4 pouces / s) ou (20,3 cm, 10,2 cm / s). En descendant, la masse se déplacera dans la direction la plus basse, de sorte que l'état du système à cet endroit est de (8 pouces, -4 pouces / s) ou (20,3 cm, -10,2 cm / s).
La représentation graphique de ces états et d’autres que le système expérimente produit une ellipse décrivant l’évolution du système. Un tel graphique s'appelle un tracé de phase. La trajectoire spécifique à travers laquelle un système particulier passe est son orbite.
Si la masse avait été réduite davantage au début, la figure tracée dans l'espace des phases serait une ellipse plus grande. Si la masse avait été libérée au point d'équilibre - le point où la force du ressort annule exactement la force de gravité - la masse resterait en place. Ce serait un seul point dans l'espace des phases. Ainsi, on peut voir que les orbites de ce système sont des ellipses concentriques.
L'exemple masse sur ressort illustre un aspect important des systèmes mécaniques définis par un seul objet: il est impossible que deux orbites se croisent. Les variables représentant l'état de l'objet déterminent son avenir, il ne peut donc y avoir qu'un seul chemin d'accès et un seul chemin sur chaque point de son orbite. Par conséquent, les orbites ne peuvent pas se croiser. Cette propriété est extrêmement utile pour analyser des systèmes utilisant un espace de phase.