Co to jest przestrzeń fazowa?
Przestrzeń fazowa jest abstrakcją, której fizycy używają do wizualizacji i badania systemów; każdy punkt w tej wirtualnej przestrzeni reprezentuje pojedynczy możliwy stan systemu lub jedną z jego części. Stany te są zazwyczaj określane przez zestaw zmiennych dynamicznych istotnych dla ewolucji systemu. Fizycy uważają, że przestrzeń fazowa jest szczególnie przydatna do analizy układów mechanicznych, takich jak wahadło, planety krążące wokół gwiazdy centralnej lub masy połączone sprężynami. W tych kontekstach stan obiektu jest określony przez jego pozycję i prędkość lub, równoważnie, jego pozycję i pęd. Przestrzeń fazowa może być również wykorzystana do badania nieklasycznych, a nawet niedeterministycznych układów, takich jak te spotykane w mechanice kwantowej.
Masa poruszająca się w górę i w dół na sprężynie stanowi konkretny przykład układu mechanicznego odpowiedniego do zilustrowania przestrzeni fazowej. Ruch masy zależy od czterech czynników: długości sprężyny, sztywności sprężyny, ciężaru masy i prędkości masy. Tylko pierwsza i ostatnia z tych zmian zmienia się w czasie, przy założeniu, że drobne zmiany siły grawitacji są ignorowane. Tak więc stan układu w danym momencie zależy wyłącznie od długości sprężyny i prędkości masy.
Jeśli ktoś zniesie masę, sprężyna może rozciągnąć się na długość 10 cali (25,4 cm). Kiedy masa zostaje zwolniona, chwilowo spoczywa, więc jej prędkość wynosi 0 cali / s. Stan systemu w tym momencie można opisać jako (10 cali, 0 cali / s) lub (25,4 cm, 0 cm / s).
Masa początkowo przyspiesza w górę, a następnie zwalnia w miarę ściskania sprężyny. Masa może przestać rosnąć, gdy sprężyna ma długość 15,2 cm. W tym momencie masa ponownie spoczywa, więc stan układu można opisać jako (6 cali, 0 cali / s) lub (15,2 cm, 0 cm / s).
W punktach końcowych masa ma zerową prędkość, więc nic dziwnego, że porusza się najszybciej w połowie odległości między nimi, gdzie długość sprężyny wynosi 8 cali (20,3 cm). Można założyć, że prędkość masy w tym punkcie wynosi 4 cale / s (10,2 cm / s). Po przekroczeniu punktu środkowego w drodze w górę stan systemu można opisać jako (8 cali, 4 cale / s) lub (20,3 cm, 10,2 cm / s). Po drodze w dół masa będzie poruszać się w dół, więc stan układu w tym punkcie wynosi (8 cali, -4 cale / s) lub (20,3 cm, -10,2 cm / s).
Przedstawiając te i inne stany, których doświadcza system, powstaje elipsa przedstawiająca ewolucję systemu. Taki wykres nazywa się wykresem fazowym. Specyficzną trajektorią, przez którą przechodzi dany system, jest jego orbita.
Gdyby masa została zniesiona dalej na początku, postać wykreślona w przestrzeni fazowej byłaby większą elipsą. Gdyby masa została uwolniona w punkcie równowagi - punkcie, w którym siła sprężyny dokładnie znosi siłę grawitacji - masa pozostałaby na swoim miejscu. Byłaby to pojedyncza kropka w przestrzeni fazowej. Widać więc, że orbity tego układu są koncentrycznymi elipsami.
Przykład masy na sprężynie ilustruje ważny aspekt układów mechanicznych określonych przez jeden obiekt: niemożliwe jest przecięcie się dwóch orbit. Zmienne reprezentujące stan obiektu określają jego przyszłość, więc może istnieć tylko jedna ścieżka do i jedna ścieżka z każdego punktu na orbicie. Dlatego orbity nie mogą się krzyżować. Ta właściwość jest niezwykle przydatna do analizy systemów wykorzystujących przestrzeń fazową.