Co to jest przestrzeń fazowa?

Przestrzeń fazowa jest abstrakcją, której fizycy używają do wizualizacji i badań systemów; Każdy punkt w tej wirtualnej przestrzeni reprezentuje jeden możliwy stan systemu lub jedną z jego części. Stany te są zwykle określane przez zestaw zmiennych dynamicznych istotnych dla ewolucji systemu. Fizycy uważają, że przestrzeń fazowa jest szczególnie przydatna do analizy układów mechanicznych, takich jak Pendula, Planety krążące orbitujące centralną gwiazdę lub masy połączone sprężynami. W tych kontekstach stan obiektu zależy od jego pozycji i prędkości lub równoważnie jego pozycji i pędu. Przestrzeń fazowa może być również wykorzystana do badania nieklasycznych-a nawet niedeterministycznych-takich jak te napotkane w mechanice kwantowej.

Masa poruszająca się w górę i w dół na sprężynie stanowi konkretny przykład układu mechanicznego odpowiedniego do ilustracji przestrzeni fazowej. Ruch masy jest określany przez cztery czynniki: długość sprężyny, sztywność sprężyny, ciężar masyi prędkość masy. Tylko pierwsza i ostatnia z tych zmian w czasie, zakładając, że niewielkie zmiany w sile grawitacji są ignorowane. Zatem stan układu w danym momencie jest określany wyłącznie przez długość sprężyny i prędkość masy.

Jeśli ktoś pociągnie masę w dół, sprężyna może rozciągnąć się na długość 10 cali (25,4 cm). Kiedy masa zostanie wypuszcza, jest chwilowo spoczywa, więc jej prędkość wynosi 0 cali. Stan systemu w tym momencie można opisać jako (10 cali, 0 cali/s) lub (25,4 cm, 0 cm/s).

Najpierw masowa przyspiesza w górę, a następnie spowalnia, gdy sprężyna ściska. Masa może przestać rosnąć, gdy sprężyna ma 6 cali (15,2 cm) długości. W tym momencie masa ponownie jest w spoczynku, więc stan systemu można opisać jako (6 cali, 0 cali) lub (15,2 cm, 0 cm/s).

W punktach końcowych masa ma zerową prędkość, więc tak jestNic dziwnego, że porusza się najszybciej na półce między nimi, gdzie długość sprężyny wynosi 8 cali (20,3 cm). Można założyć, że prędkość masy w tym punkcie wynosi 4 cala (10,2 cm/s). Po przekazywaniu punktu środkowego w drodze do góry, stan systemu można opisać jako (8 cali, 4 cali/s) lub (20,3 cm, 10,2 cm/s). W drodze w dół masa będzie poruszać się w kierunku w dół, więc stan systemu w tym punkcie wynosi (8 cali, -4 cali/s) lub (20,3 cm, -10,2 cm/s).

Grafowanie tych i innych stanów doświadczenia w systemie tworzą elipsę przedstawiającą ewolucję systemu. Taki wykres nazywa się wykresem fazowym. Konkretna trajektoria, przez którą przechodzi dany system, jest jego orbita.

Gdyby masa została wyciągnięta dalej na początku, postać wyśledzona w przestrzeni fazowej byłaby większą elipsą. Jeśli masa została uwolniona w punkcie równowagi - punkt, w którym siła sprężyny dokładnie anuluje siłę grawitacji -Msza pozostanie na miejscu. Byłby to pojedyncza kropka w przestrzeni fazowej. W ten sposób można zauważyć, że orbity tego systemu są koncentrycznymi elipsami.

Przykład Mass-on-a-Spring ilustruje ważny aspekt układów mechanicznych zdefiniowanych przez pojedynczy obiekt: nie jest możliwe przecinanie dwóch orbit. Zmienne reprezentujące stan obiektu określają jego przyszłość, więc może być tylko jedna ścieżka i jedna ścieżka z każdego punktu na jego orbicie. Dlatego orbity nie mogą się nawzajem przekraczać. Ta właściwość jest niezwykle przydatna do analizy systemów z wykorzystaniem przestrzeni fazowej.