위상 공간이란 무엇입니까?

위상 공간은 물리학자가 시스템을 시각화하고 연구하는 데 사용하는 추상화입니다. 이 가상 공간의 각 지점은 시스템의 단일 가능한 상태 또는 해당 부분 중 하나를 나타냅니다. 이러한 상태는 일반적으로 시스템의 진화와 관련된 동적 변수 세트에 의해 결정됩니다. 물리학 자들은 위상 공간이 특히 pendula, 중심 별 궤도를 도는 행성, 또는 스프링으로 연결된 질량과 같은 기계 시스템을 분석하는 데 유용하다고 생각합니다. 이러한 맥락에서, 물체의 상태는 그 위치와 속도, 또는 동등하게 그 위치와 운동량에 의해 결정됩니다. 위상 공간은 또한 양자 역학에서 발생하는 것과 같은 비 고전적, 심지어 비결정론 적 시스템을 연구하는 데 사용될 수 있습니다.

스프링 위아래로 움직이는 질량은 위상 공간을 설명하기에 적합한 기계적 시스템의 구체적인 예를 제공합니다. 질량의 운동은 스프링의 길이, 스프링의 강성, 질량의 무게 및 질량의 속도와 같은 4 가지 요소에 의해 결정됩니다. 중력의 미세한 변화가 무시된다고 가정 할 때 시간이 지남에 따라 처음과 마지막 변화 만 무시됩니다. 따라서, 주어진 시간에서의 시스템 상태는 스프링의 길이와 질량의 속도에 의해서만 결정됩니다.

누군가가 덩어리를 잡아 당기면 스프링이 10 인치 (25.4cm) 길이로 늘어날 수 있습니다. 질량을 놓으면 일시적으로 정지하므로 속도는 0 in / s입니다. 이 시점의 시스템 상태는 (10 in, 0 in / s) 또는 (25.4 cm, 0 cm / s)로 설명 할 수 있습니다.

질량은 처음에는 위로 가속 된 다음 스프링이 압축됨에 따라 느려집니다. 스프링의 길이가 15.2cm (6 인치) 일 때 질량이 오름차순 멈출 수 있습니다. 이 시점에서 질량은 다시 정지 상태이므로 시스템 상태는 (6 in, 0 in / s) 또는 (15.2 cm, 0 cm / s)로 설명 할 수 있습니다.

종점에서 질량은 속도가 0이므로 스프링의 길이가 8 인치 (20.3cm) 인 중간 지점에서 가장 빠르게 이동하는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 그 시점에서의 질량 속도는 4 in / s (10.2 cm / s)라고 가정 할 수 있습니다. 중간 점을 위로 향하게하면 시스템 상태는 (8 in, 4 in / s) 또는 (20.3 cm, 10.2 cm / s)로 설명 될 수 있습니다. 내려가는 동안 질량은 아래쪽으로 이동하므로 해당 시점의 시스템 상태는 (8 in, -4 in / s) 또는 (20.3 cm, -10.2 cm / s)입니다.

시스템이 경험하는 이러한 상태와 다른 상태를 그래프로 표시하면 시스템의 진화를 나타내는 타원이 생성됩니다. 이러한 그래프를 위상 도표라고합니다. 특정 시스템이 통과하는 특정 궤도는 궤도입니다.

처음에 질량이 더 아래로 당겨 졌다면, 위상 공간에서 추적 된 수치는 더 큰 타원이됩니다. 질량이 평형 점 (스프링의 힘이 중력의 힘을 정확히 상쇄하는 지점)에서 해제 된 경우 질량은 그대로 유지됩니다. 이것은 위상 공간에서 단일 도트입니다. 따라서이 시스템의 궤도는 동심원 인 것을 알 수 있습니다.

스프링 질량 예제는 단일 객체에 의해 정의 된 기계 시스템의 중요한 측면을 보여줍니다. 두 개의 궤도가 교차하는 것은 불가능합니다. 객체의 상태를 나타내는 변수는 미래를 결정하므로 궤도상의 모든 지점에서 하나의 경로와 하나의 경로 만있을 수 있습니다. 따라서 궤도는 서로 교차 할 수 없습니다. 이 특성은 위상 공간을 사용하여 시스템을 분석하는 데 매우 유용합니다.